本文是： 2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案 的参考答案。

▌第五题

分别指出下列波形的直流分量等于多少？

说明：对于周期信号的直流分量，等于它一个周期内的平均值，即：
fD(t)=T2∫−T2T2f(t)dtf_D \left( t \right) = {T \over 2}\int_{ - {T \over 2}}^{{T \over 2}} {f\left( t \right)dt}fD(t)=2T∫−2T2Tf(t)dt

（1）

全波整流：
f(t)=∣sin⁡(ωt)∣f\left( t \right) = \left| {\sin \left( {\omega t} \right)} \right|f(t)=∣sin(ωt)∣

求解：

对于频率为ω\omegaω的正弦波，它的周期为2π/ω2\pi /\omega2π/ω，整流之后变成周期为π/ω\pi /\omegaπ/ω的波动波形。因此，它的直流分量fD(t)f_D \left( t \right)fD(t)为：

fD(t)=ωπ∫0πωsin⁡(ωt)dtf_D \left( t \right) = {\omega \over \pi }\int_0^{{\pi \over \omega }} {\sin \left( {\omega t} \right)dt}fD(t)=πω∫0ωπsin(ωt)dt=−ωπ⋅1ω⋅cos⁡(ωt)∣0πω=2π= - {\omega \over \pi } \cdot {1 \over \omega } \cdot \left. {\cos \left( {\omega t} \right)} \right|_0^{{\pi \over \omega }} = {2 \over \pi }=−πω⋅ω1⋅cos(ωt)∣0ωπ=π2

下图是ω=1\omega = 1ω=1对应的∣sin⁡(t)∣\left| {\sin \left( t \right)} \right|∣sin(t)∣的全波整流波形，可以看到它的周期为π\piπ。

^{▲ sin(t)的全波整流信号}

（2）

f(t)=sin⁡2(ωt)f\left( t \right) = \sin ^2 \left( {\omega t} \right)f(t)=sin2(ωt)

求解：

根据：sin⁡2(ωt)=1−cos⁡(2ωt)2\sin ^2 \left( {\omega t} \right) = {{1 - \cos \left( {2\omega t} \right)} \over 2}sin2(ωt)=21−cos(2ωt)

所以可以知道信号的直流分量fD(t)f_D \left( t \right)fD(t)等于：
fD(t)=12f_D \left( t \right) = {1 \over 2}fD(t)=21

下图是sin⁡2(t)\sin ^2 \left( t \right)sin2(t)的波形，可以看出：

信号为一个直流分量1/2与一个余弦信号叠加；

余弦信号的频域为原来sin(t)的两倍；

^{▲ sin(t)的平方信号的波形}

（3）

f(t)=cos⁡(ωt)+sin⁡(ωt)f\left( t \right) = \cos \left( {\omega t} \right) + \sin \left( {\omega t} \right)f(t)=cos(ωt)+sin(ωt)

求解：

这个信号是由两个交流信号组成，两个交流信号的直流分量都等于0，它们叠加后的信号的直流分量也等于0。fD(t)=0f_D \left( t \right) = 0fD(t)=0

下面是信号sin(t)+cos(t)的波形，可以看出它的直流分量为0。

^{▲ sin(t)+cos(t)的信号波形}

（4）

升余弦：
f(t)=K[1+cos⁡(ωt)]f\left( t \right) = K\left[ {1 + \cos \left( {\omega t} \right)} \right]f(t)=K[1+cos(ωt)]

提示：周期信号的直流分量是它的一个周期内的积分值除以周期。这个题目实际上是高中三角函数积分练习题。

求解：

这个信号是由两部分组成，一个是直流量K,一个是交流Kcos⁡(ωt)K\cos \left( {\omega t} \right)Kcos(ωt)。所以它的直流分量为fD(t)f_D \left( t \right)fD(t)为：

fD(t)=Kf_D \left( t \right) = KfD(t)=K

^{▲ 函数1+sin(t)波形}

※ 附录

2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第一题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第二题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第三题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第四题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第五题
2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第六题

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2021年春季学期-信号与系统-第一次作业参考答案-第五题

▌第五题

分别指出下列波形的直流分量等于多少？

（1）

求解：

（2）

求解：

（3）

求解：

（4）

求解：

※ 附录

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