社交网络图挖掘5--图的邻居性质

有向图和邻居
图的直径
传递闭包和可达性

有向图和邻居

有向图（directed graph）：是指一个包含节点集合和有向边集合的图，每条有向边写成u→vu\rightarrow v，其中uu为有向边的源节点（source），vv为目标节点（target）。所有的无向图都可以用有向图来表示，无向边(u,v)(u,v)可表示为u→vu\rightarrow v和v→uv\rightarrow u。
路径（path）：值一个节点的序列v0,v1,...,vkv_0,v_1,...,v_k，其中对于每个i=1,2,...,k−1i=1,2,...,k-1，都存在有向边vi→vi+1v_{i}\rightarrow v_{i+1}。该路径的长度（length）为kk，即该路径上的有向边数目。长度为kk的路径上有k+1k+1个节点，因此节点到自己的路径的长度为00。
节点vv的dd径内邻居（neighborhood of radius）：是指vv在dd步路径之内能达到的节点uu的集合，记为N(v,d)N(v,d)。如果VV是一个节点集合，那么N(V,d)N(V,d)是指VV中节点在dd步路径之内能达到的节点集合。
节点vv的邻居描述（neighborhood profile）：是其邻居N(v,1),N(v,2),...N(v,1),N(v,2),...的大小构成的序列∣N(v,1)∣,∣N(v,2)∣,...\mid N(v,1)\mid ,\mid N(v,2)\mid ,...。这里不包含N(v,0)N(v,0)，因为其大小永远为1。邻居描述可以反映哪个节点（在每个相等路径长度上，该节点的邻居大小总是大于或等于其他节点）更接近网络中心。

图的直径

强连通图（strongly connected）：任一节点到其他节点之间都存在路径。
直径（diameter）：满足下列条件的最小整数dd：对于图中任何两个节点uu和vv，都存在一条从uu到vv的长度小于或等于dd的路径。（仅对无向图、强连通图有意义）

可以通过不断增加径长计算图的邻居大小来得到图的直径，直到邻居中不能再增加节点为止。即对于每个节点vv，找到那个使得∣N(v,d)∣=∣N(v,d+1)∣\mid N(v,d)\mid=\mid N(v,d+1)\mid 成立的最小dd。这个dd是从vv到其他任意可达节点的最短路径长度的紧致上界（tight upper bound），称为d(v)d(v)。

如果图是强连通的，则图的直径为maxv(d(v))maxv(d(v))。

传递闭包和可达性

传递闭包（transitive closure）：是指节点对(u,v)(u,v)的集合，其中从uu到vv存在一条长度大于等于0的路径，可写成path(u,v)path(u,v)。
节点间的可达性（reachability）：如果path(u,v)path(u,v)为真，则称uu可到达（reach）vv。
计算传递闭包的问题：就是寻找path(u,v)path(u,v)为真的所有节点对(u,v)(u,v)。
可达性问题：给定图中节点uu，寻找所有满足条件path(u,v)path(u,v)为真的v<script type="math/tex" id="MathJax-Element-7189">v</script>。

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