【XSY2719】prime 莫比乌斯反演

题目描述

　　设$f(i)$为$i$的不同的质因子个数，求$\sum_{i=1}^n2^{f(i)}$

　　$n\leq{10}^{12}$

题解

　　考虑$2^{f(i)}$的意义：有$f(i)$总因子，每种可以分给两个人中的一个。那么就有$2^{f(i)}=\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1]$

　　然后就是简单莫比乌斯反演了。
\[ \begin{align} s&=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}[\gcd(d,\frac{i}{d})=1]\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\sum_{j|d\text{&&}j|\frac{i}{d}}\mu(j)\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{j^2|i}g(\frac{i}{j^2})\mu(j)\\ &=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}g(i)\\ &=\sum_{j=1}^\sqrt{n}\mu(j)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{j^2}\rfloor}\lfloor\frac{n}{j^2i}\rfloor \end{align} \]
　　时间复杂度：$O(\sqrt n\log n)$

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p=998244353;
ll gao(ll x)
{ll s=0;ll i,j;for(i=1;i<=x;i=j+1){j=x/(x/i);s+=(x/i)*(j-i+1);}return s;
}
int b[1000010];
int pri[1000010];
int cnt;
int miu[1000010];
int main()
{ll i,j;miu[1]=1;for(i=2;i<=1000000;i++){if(!b[i]){pri[++cnt]=i;miu[i]=-1;}for(j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=1000000;j++){b[i*pri[j]]=1;if(i%pri[j]==0){miu[i*pri[j]]=0;break;}miu[i*pri[j]]=-miu[i];}}ll ans=0;ll n;scanf("%lld",&n);for(i=1;i*i<=n;i++)ans=(ans+miu[i]*gao(n/(i*i)))%p;ans=(ans+p)%p;printf("%lld\n",ans);return 0;
}

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