线性代数学习笔记（一）——二阶和三阶行列式

本篇笔记从解方程组开始，并引入一种新运算，然后了解二阶行列式和三阶行列式相关定义，如元素、行标、列标、主对角线、次对角线等。同时为了研究行列式展开项与元素下标之间的关系，还引入了排列、逆序、逆序数、奇排列、偶排列、标准排列、自然排列、N级标准排列以及对换等概念。

1 方程组

{5x+6y=7①9x+4y=3②\begin{cases} 5x+6y=7\qquad①\\ 9x+4y=3\qquad②\\ \end{cases}{5x+6y=7①9x+4y=3②

将①×9、②×5①×9、②×5①×9、②×5得：
{5×9x+6×9y=7×9③9×5x+4×5y=3×5④\begin{cases} 5×9x+6×9y=7×9\qquad③\\ 9×5x+4×5y=3×5\qquad④\\ \end{cases}{5×9x+6×9y=7×9③9×5x+4×5y=3×5④

将③−④③-④③−④得：
(5×4−6×9)y=3×5−7×9(5×4-6×9)y=3×5-7×9(5×4−6×9)y=3×5−7×9

解得：
y=3×5−7×95×4−6×9⑤y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}\qquad⑤y=5×4−6×93×5−7×9⑤

同理可得：
x=7×4−6×35×4−6×9⑥x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}\qquad⑥x=5×4−6×97×4−6×3⑥

通过观察上述⑤,⑥⑤, ⑥⑤,⑥的值可以发现，分子和分母都是四个数分别为：两两先相乘，再相减。

2 定义一种新运算

通过左右两条竖线，中间放入四个数字，表示对角线上数字先相乘再相减，定义以下运算：
∣abcd∣=ad−cb\begin{vmatrix} a&b\\ c&d\\ \end{vmatrix} =ad-cb∣∣∣∣acbd∣∣∣∣=ad−cb

上述x,yx, yx,y可表示为：
{x=7×4−6×35×4−6×9=∣7364∣∣5964∣y=3×5−7×95×4−6×9=∣3975∣∣5964∣\begin{cases} x=\frac{7×4-6×3}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 7&3\\ 6&4\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} }\\\\ y=\frac{3×5-7×9}{5×4-6×9}= \frac{ \begin{vmatrix} 3&9\\ 7&5\\ \end{vmatrix}}{ \begin{vmatrix} 5&9\\ 6&4\\ \end{vmatrix} } \end{cases}⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧x=5×4−6×97×4−6×3=∣∣∣5694∣∣∣∣∣∣7634∣∣∣y=5×4−6×93×5−7×9=∣∣∣5694∣∣∣∣∣∣3795∣∣∣

3 二阶行列式

二阶行列式由4个数写成2行和2列，并在左右两边加上竖线组成。
∣a11a12a21a22∣\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\\ a_{21}&a_{22}\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣a11a21a12a22∣∣∣∣

行列式表示一个数，上述二阶行列式的值为：a11a22−a12a21a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}a11a22−a12a21

元素：每个元素使用aija_{ij}aij表示。
行标：iii为行标，表示第几行。
列标：jjj为列标，表示第几列。
主对角线：\，从左上角到右下角。
次对角线：/，从左下角到右上角。

举例：
∣1793∣=1×3−9×7\begin{vmatrix} 1&7\\ 9&3\\ \end{vmatrix} =1×3-9×7∣∣∣∣1973∣∣∣∣=1×3−9×7

∣mnab∣=mb−an\begin{vmatrix} m&n\\ a&b\\ \end{vmatrix} =mb-an∣∣∣∣manb∣∣∣∣=mb−an

∣λ−112λ∣=λ(λ−1)−1×2\begin{vmatrix} \lambda-1&1\\ 2&\lambda\\ \end{vmatrix} =\lambda(\lambda-1)-1×2∣∣∣∣λ−121λ∣∣∣∣=λ(λ−1)−1×2

∣爱子辈你∣=爱你−辈子\begin{vmatrix} 爱&子\\ 辈&你\\ \end{vmatrix} =爱你-辈子∣∣∣∣爱辈子你∣∣∣∣=爱你−辈子

4 三阶行列式

三阶行列式也可以由方程组推出。它由9个数写成3行和3列，并在左右两边加上竖线组成。
∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣\begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\\ \end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣a11a21a31a12a22a32a13a23a33∣∣∣∣∣∣

三阶行列式也可按照二阶行列式的划线法（对角线展开法）方式求值，其值为：
a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32−a13a22a31−a12a21a33−a11a23a32

总共有6项，其中主对角线方向3项为正数，次对角线方向3项为负数。

举例：
∣λ101λ1001∣=λ×λ×1+1×1×0+1×0×0−0×λ×0−1×1×1−0×1×λ\begin{vmatrix} \lambda&1&0\\ 1&\lambda&1\\ 0&0&1\\ \end{vmatrix} =\lambda×\lambda×1+1×1×0+1×0×0-0×\lambda×0-1×1×1-0×1×\lambda∣∣∣∣∣∣λ101λ0011∣∣∣∣∣∣=λ×λ×1+1×1×0+1×0×0−0×λ×0−1×1×1−0×1×λ

注\color{red}{注}注：此处在视频21:27有误，第5项写成了：-1×1×0。

5 一些概念

为了解理N阶行列式，引入以下概念：
排列：由1,2,...,n1, 2, ..., n1,2,...,n组成的一个有序数组叫n级排列。

例如：
123123123
132132132
213213213
231231231
312312312
321321321
以上都是3级排列。

3145不是5级排列，因为缺少数字2，不满足有序的条件，所以数组中不能缺数。

n级排列一共有 n(n−1)(n−2)...3×2×1=n!n(n-1)(n-2)...3×2×1=n!n(n−1)(n−2)...3×2×1=n! 种。

逆序：比较大的数排在比较小的数前面构成逆序。例如：在排列421342134213中，4排在2前面就构成了逆序。
逆序数：排列中逆序的总数。
例如：
在排列421342134213中，逆序数为4，具体计算如下：
3（4后面比4小的数的个数）+1（2后面比2小的数的个数）+0（1后面比1小的数的个数）+0（3后面比3小的数的个数）

逆序数使用NNN表示，例如：N(4213)=4N(4213)=4N(4213)=4

奇排列：逆序数为奇数的排列。
偶排列：逆序数为偶数的排列。

标准排列：逆序数为0的排列，也称为自然排列。
由n个数构成的逆序数为0的排列称为N级标准排列。例如：N(123...n)=0N(123...n)=0N(123...n)=0

举例：
求：N(54123)N(54123)N(54123)
解：
=4+3+0+0+0=4+3+0+0+0=4+3+0+0+0
=7=7=7
数逆序数的方法：从第一个数开始，依次数后面有几个比它小的数，顺序不能乱。

求：N(n(n−1)(n−2)...321)N(n(n-1)(n-2)...321)N(n(n−1)(n−2)...321)
解：
=(n−1)+(n−2)+...+2+1=(n-1)+(n-2)+...+2+1=(n−1)+(n−2)+...+2+1
=n(n−1)2=\frac{n(n-1)}2=2n(n−1)

对换：交换排列中的两个数。

例如：5412↔3→5421354\overleftrightarrow{12}3→5421354123→54213，

由前面可知：N(54123)=7N(54123)=7N(54123)=7，而交换两个数后，N(54213)=4+3+1+0+0=8N(54213)=4+3+1+0+0=8N(54213)=4+3+1+0+0=8

6 定理

定理 1.1.1：一个排列经过一次对换，奇偶性会改变。

一个排列做偶数次对换，其奇偶性不变；一个排列做奇数次对换，其奇偶性改变。

定理 1.1.2：在所有的N级排列中，奇排列和偶排列的数量相等，各占：n!2\frac{n!}22n!。

7 引用

《线性代数》高清教学视频 “惊叹号”系列宋浩老师_哔哩哔哩 (゜-゜)つロ干杯~-bilibili_1.1 二阶三阶行列式