【数学基础】线性方程组解情况整理

一、非齐次线性方程组，无解，多解，唯一解

非齐次线性方程组，就是方程组的等式右边不为0的方程组，系数加上方程等式右边的矩阵，叫做增广矩阵。

【例1】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组个数小于未知数个数，有多个解。

$\begin{cases} \text{ } 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ \text{ } x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=4 \\ \text{ } 3x_{1}+x_{2}+3x_{3}=6 \end{cases}$

第一步，先列出增广矩阵：

$\begin{pmatrix} 2& 3& 1& | 2 \\ 1& -2& 2&|4 \\ 3& 1& 3& |6 \end{pmatrix}$

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵
先把第2行换到第1行

$\begin{pmatrix} 1& -2& 2&|4 \\ 2& 3& 1& | 2 \\ 3& 1& 3& |6 \end{pmatrix}$

第2行减第1行的2倍，第3行减第1行的3倍，得到

$\begin{pmatrix} 1& -2& 2& | &4 \\ 0& 7& -3 &| &-6 \\ 0& 7& -3&|&-6 \end{pmatrix}$

第3行减第2行，得到

$\begin{pmatrix} 1& -2& 2&|&4 \\ 0& 7& -3& |& -6 \\ 0& 0& 0& |&0 \end{pmatrix}$

化简后的方程组，等于

$\begin{cases} & \text{ } 2x_{1}+3x_{2}+x_{3}=2 \\ & \text{ }7x_{2}-3x_{3}=6 \\ & \text{ } 0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=0 \end{cases}$

这样， $x_{2}$ 可以通过 $x_3$ 来表示， $x_1$ 也可以通过 $x_3$ 来表示，这样 $x_3$ 就叫做自由变量， $x_3$ 可以取任意值。所以 $x_{1},x_{2},x_{3}$ 就有无穷多个解。

可见，化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。
有效方程组个数=2，未知数个数=3

化简后的有效方程组个数，小于未知数个数。这样的方程组有无穷多个解化。即 ${\color{Red}{r(A)=r(A,b) <n }}$ 。

【例2】求解下列线性方程组

化简后的有效方程组出现(0=d)型式不兼容方程，则无解化。

$\begin{cases} & \text{ } x_{1}-7x_{2}+6x_{3}=2 \\ & \text{ } 2x_{1}+3x_{2}-8x_{3}=3 \\ & \text{ } x_{1}+10x_{2}-14x_{3}=6 \end{cases}$

第一步，先列出增广矩阵：

$\begin{pmatrix} 1& -7& 6& | 2 \\ 2& 3& -8&|3 \\ 1& 10& -14& |6 \end{pmatrix}$

第二步，用高斯消元法化简，化简成阶梯矩阵。
第2行减去第1行*2，第3行减去第2行

$\begin{pmatrix} 1& -7& 6& | &2 \\ 0& 17& -20&|&-1 \\ 0& 0& 0& |&5 \end{pmatrix}$

导出最后一个方程：

$0x_{1}+0x_{2}+0x_{3}=5$

这个方程是不可能成立的，所以原线性方程组无解。
这种形式的方程叫做 {0=d} 方程，其中d是非零数，这种叫做不相容方程，也是自相矛盾的方程。
{0=d} 方程是一种自相矛盾的方程，左边全是0，右边是一个非零，这是自相矛盾的，是不相容的，所以无解。

化简后导出 {0=d} 形式的方程，方程组无解。

判断有解无解总结：
对于 $Ax=b$ 方程组
通过高斯消元法，化简，化成阶梯行方程组

先看看是否出现{0=d}形式的不相容方程，如果出现，无解。
有解的情况下，再看看有效方程个数是否小于未知数个数，如果是，则有无穷多个解。如果正好相等，则有唯一解。

二、齐次线性方程组，非零解，零解

齐次线性方程组，就是方程组的等式右边全部是0的方程组，只有系数矩阵，不需要增广矩阵，所以不会出现{0=d}形式的不相容方程。所以不会出现无解的情况，只需要考虑是多个解，还是唯一解。

对于齐次线性方程组，有多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。多个解叫做有非零解。唯一解叫做零解。

对于 $Ax=0$ 的齐次线性方程组，列出其系数矩阵（不需要增广矩阵），使用高斯消元法化简，化为阶梯形矩阵，化简后，判断有效方程组个数是否小于未知数个数。
如果有效方程组个数小于未知数个数，叫做有非零解（多个解） 。如果等于，叫做只有零解（唯一解）。

三、什么是矩阵的秩（ $zh\grave{i}$ ），什么是detA?

detA就是矩阵A的行列式的值。
什么叫做矩阵的秩？
将矩阵用高斯消元法化简后，非零行的行数叫做行秩，非零列的列数叫做列秩。
矩阵的秩是方阵经过初等变换后的非零行行数或非零列列数。
可以将矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是极大无关组中所含向量的个数。

定义： ${\color{Red}{ A=\{ a_{ij} \} m\times n }}$ 的不为零的子式的最大阶数称为矩阵A的秩。
记做 ${\color{Red}{rA}}$ ，或者 ${\color{Red}{rankA}}$ 。
特别规定零矩阵的秩就是零。
若A中至少有一个r阶子式不等于零，且在r< min(m,n)时，A中所有的r+1阶子式全为零，则A的秩为r。
由定义直接可得n阶可逆矩阵的秩为n。

$r(A^{-1}A)=r(I) = n \leq \min(r(A^{-1}),r(A))\leq \min(r(A^{-1}),n)\\ \Rightarrow n \leq \min(r(A^{-1}),n) \\ \Rightarrow r(A^{-1}) = n$

满秩矩阵才可逆（以下记 $T_i$ 为第i个矩阵的初等变化）：

如果矩阵A是满秩的，我们就可以通过一系列的初等变化将矩阵A变换为单位矩阵。

$T_1T_2\cdots T_nA = I$

则 $A^{-1} = T_1T_2\cdots T_n$

所有通常又将可逆矩阵称为满秩矩阵，满秩矩阵 $detA\neq 0$ 。
不满秩矩阵就是奇异矩阵，奇异矩阵 $detA= 0$
由行列式性质知道，矩阵A的转置AT的秩与A的秩是一样的。

四、通过矩阵的秩（ $zh\grave{i}$ ）来判断线性方程组无解，有多个解，唯一解的问题

线性方程组什么时候无解，有多个解，唯一解？

1.对于非齐次线性方程组，用矩阵的秩r(A)来判断

对线性方程组进行初等变换（高斯消元法），化为最简型（阶梯形）矩阵。

考查系数矩阵r(A)，增广矩阵r(A,b)，以及方程组未知数个数n。

如果系数矩阵的秩r(A)小于增广矩阵的秩r(A,b)，r(A)<r(A,b)，那么方程组无解；
如果系统矩阵的秩小于方程组未知数个数，r(A)=r(A,b)<n，那么方程组有多个解。
如果系统矩阵的秩等于方程组未知数个数，r(A)=r(A,b)=n，那么方程组有唯一解。

2.对于齐次线性方程组，用行列式的值 detA来判断。

不存在无解的情况。至少有全0的解。
判断detA，如果detA=0，则有非零解（无穷多个解）。
判断detA，如果detA≠0，则只有零解（只有唯一解）。

总结

无论是对于齐次线性方程组还是非齐次线性方程组，都可以通过矩阵的秩来做判断。

只要矩阵为满秩的，则必然只有唯一解

对于齐次线性方程组来说唯一解为0解
而非齐次线性方程组的唯一解就不一定了

如果矩阵不是满秩的

对于齐次线性方程组而言，则有无穷多解，故存在非零解。
对于非齐次线性方程组而言，有两种情况：
1. 一种为系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，则有无穷多解。
2. 如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则无解。

参考文章

线性方程组什么时候无解？多个解？唯一解？