分段线性插值

1. 使用分段线性插值的目的

一些插值函数列可能产生Runge现象，也就是只能在某些区间内部收敛到被插函数，在这些区间外则根本无法收敛到被插函数。

为了使得我们的插值对于任何区间都有意义，选择将整个插值区间按照节点分成若干个小区间，在每个小区间上分别使用多项式插值，这样来近似代替被插函数。

一般使用次数小于或等于3的多项式来进行分段插值，当次数为1次是就是分段线性插值。

2. 方法

直观上，分段线性插值函数是连接各个节点的折线，采用Lagrange插值基函数的方法，在每个小区间上构造基函数，再作它们的线性组合。

以下的插值基函数可以作为选择

设在区间[a,b][a,b][a,b]上给定n+1n+1n+1个插值节点和函数值
a=x0≤x1<x2<…<xn=ba=x_0\leq x_1 < x_2 <\ldots<x_n=b a=x0≤x1<x2<…<xn=b
y0,y1,….yny_0,y_1,\ldots.y_n y0,y1,….yn
构造以下插值基函数
l0(x)={x−x1x0−x1x0≤x≤x10x1<x≤xnl_0(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \frac{x-x_1}{x_0-x_1}&x_0\leq x \leq x_1\\ 0&x1 <x\leq x_n \end{array} \right. l0(x)={x0−x1x−x10x0≤x≤x1x1<x≤xn
lj(x)={x−xj−1xj−xj−1xj−1≤x≤xjx−xj+1xj−xj+1xj≤x≤xj+10[a,b]−[xj−1,xj+1]l_j(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}}&x_{j-1}\leq x \leq x_j\\ \frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}}&x_{j}\leq x \leq x_{j+1}\\ 0&[a,b]-[x{j-1}, x_{j+1}] \end{array} \right. lj(x)=⎩⎪⎨⎪⎧xj−xj−1x−xj−1xj−xj+1x−xj+10xj−1≤x≤xjxj≤x≤xj+1[a,b]−[xj−1,xj+1]
ln(x)={x−xn−1xn−xn−1xn−1≤x≤xn0x0<x≤xn−1l_n(x)=\left\{ \begin{array}{lc} \frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}}&x_{n-1}\leq x \leq x_n\\ 0&x_0 <x\leq x_{n-1} \end{array} \right. ln(x)={xn−xn−1x−xn−10xn−1≤x≤xnx0<x≤xn−1
其中j=1,2,…,n−1j=1,2,\ldots,n-1j=1,2,…,n−1
然后用这些插值基函数就可以写出分段线性插值函数的表达式
φ(x)=∑j=0nyjlj(x)\varphi(x)=\sum_{j=0}^n y_jl_j(x) φ(x)=j=0∑nyjlj(x)

3. matlab方法

matlab的插值函数提供了线性插值的选项，y = interp1(x0,y0,x,‘linear’)返回插值节点为x0，函数值为y0,在区间x上的全部函数值。

x0 = 1:30;
y0 = 10*randn(1,30);
x = 1:0.5:30;%分段线性插值
y2 = interp1(x0,y0,x,'linear');
plot(x0,y0,'+',x,y2,'r')
title('分段线性插值')

Hermite插值

1. Hermite插值的好处

Hermite插值又称带指定微商值的插值，也就是说，除了给出了插值节点的函数值之外，还给出了指定插值节点的导数值。Hermite插值在插值节点处取相同的函数值和导数值。

2. 方法

给出n+1个插值节点和相应的函数值，微商值

xxx	x0x_0x0	x1x_1x1	…\ldots…	xnx_nxn
yyy	y0y_0y0	y1y_1y1	…\ldots…	yny_nyn
y′y'y′	y0′y_0'y0′	y1′y_1'y1′	…\ldots…	yn′y_n'yn′

可以构造2n+1次的Hermite插值多项式H(x)H(x)H(x)，并且

H(x)H(x)H(x)是次数不超过2n+1次的插值多项式
H(xj)=yj,H′(xj)=yj′,j=0,1,…,nH(x_j)=y_j,H'(x_j)=y_j',j=0,1,\ldots,nH(xj)=yj,H′(xj)=yj′,j=0,1,…,n

采用插值基函数的办法，构造如下插值基函数
hi(x)=(1+2∑j≠ix−xixj−xi)li2(x)h_i(x)=(1+2\sum_{j\neq i}\frac{x-x_i}{x_j-x_i})l_i^2(x) hi(x)=(1+2j=i∑xj−xix−xi)li2(x)
Hi(x)=li2(x)(x−xi)H_i(x)=l^2_i(x)(x-x_i) Hi(x)=li2(x)(x−xi)
其中li(x)l_i(x)li(x)是Largange插值基函数，i=0,1,…,ni=0,1,\ldots,ni=0,1,…,n
并且，hi(x),Hi(x)h_i(x),H_i(x)hi(x),Hi(x)在对应下标插值节点处取值为1，在其他节点取取值为0.
这样可以写出Hermite插值的表达式
H(x)=∑i=0n(yihi(x)+yi′Hi(x))H(x)=\sum_{i=0}^n(y_ih_i(x)+y_i'H_i(x)) H(x)=i=0∑n(yihi(x)+yi′Hi(x))

3. 分段三次Hermite插值

按照分段插值的方法，把区间[a,b][a,b][a,b]分为若干个区间，在每个区间上使用三次Hermite插值。
在各个节点上的插值基函数如下
h0(x)={(1+2x−x0x1−x0)(x−x1x0−x1)2x0≤x≤x10x1<x≤xnh_0(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (1+2\frac{x-x_0}{x_1-x_0})(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2&x_0\leq x \leq x_1\\ 0&x1 <x\leq x_n \end{array} \right. h0(x)={(1+2x1−x0x−x0)(x0−x1x−x1)20x0≤x≤x1x1<x≤xn
hj(x)={(1+2x−xjxj−1−xj)(x−xj−1xj−xj−1)2xj−1≤x≤xj(1+2x−xjxj+1−xj)(x−xj+1xj−xj+1)2xj≤x≤xj+10[a,b]−[xj−1,xj+1]h_j(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (1+2\frac{x-x_j}{x_{j-1}-x_j})(\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}})^2&x_{j-1}\leq x \leq x_j\\ (1+2\frac{x-x_j}{x_{j+1}-x_j})(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}})^2&x_{j}\leq x \leq x_{j+1}\\ 0&[a,b]-[x{j-1}, x_{j+1}] \end{array} \right. hj(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(1+2xj−1−xjx−xj)(xj−xj−1x−xj−1)2(1+2xj+1−xjx−xj)(xj−xj+1x−xj+1)20xj−1≤x≤xjxj≤x≤xj+1[a,b]−[xj−1,xj+1]
ln(x)={(1+2x−xn−1xn−1−xn)(x−xn−1xn−xn−1)2xn−1≤x≤xn0x0<x≤xn−1l_n(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (1+2\frac{x-x_{n-1}}{x_{n-1}-x_n})(\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}})^2&x_{n-1}\leq x \leq x_n\\ 0&x_0 <x\leq x_{n-1} \end{array} \right. ln(x)={(1+2xn−1−xnx−xn−1)(xn−xn−1x−xn−1)20xn−1≤x≤xnx0<x≤xn−1
H0(x)={(x−x0)(x−x1x0−x1)2x0≤x≤x10x1<x≤xnH_0(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (x-x_0)(\frac{x-x_1}{x_0-x_1})^2&x_0\leq x \leq x_1\\ 0&x1 <x\leq x_n \end{array} \right. H0(x)={(x−x0)(x0−x1x−x1)20x0≤x≤x1x1<x≤xn
Hj(x)={(x−xj)(x−xj−1xj−xj−1)2xj−1≤x≤xj(x−xj)(x−xj+1xj−xj+1)2xj≤x≤xj+10[a,b]−[xj−1,xj+1]H_j(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (x-x_j)(\frac{x-x_{j-1}}{x_j-x_{j-1}})^2&x_{j-1}\leq x \leq x_j\\ (x-x_j)(\frac{x-x_{j+1}}{x_j-x_{j+1}})^2&x_{j}\leq x \leq x_{j+1}\\ 0&[a,b]-[x{j-1}, x_{j+1}] \end{array} \right. Hj(x)=⎩⎪⎨⎪⎧(x−xj)(xj−xj−1x−xj−1)2(x−xj)(xj−xj+1x−xj+1)20xj−1≤x≤xjxj≤x≤xj+1[a,b]−[xj−1,xj+1]
Hn(x)={(x−xn)(x−xn−1xn−xn−1)2xn−1≤x≤xn0x0<x≤xn−1H_n(x)=\left\{ \begin{array}{lc} (x-x_n)(\frac{x-x_{n-1}}{x_n-x_{n-1}})^2&x_{n-1}\leq x \leq x_n\\ 0&x_0 <x\leq x_{n-1} \end{array} \right. Hn(x)={(x−xn)(xn−xn−1x−xn−1)20xn−1≤x≤xnx0<x≤xn−1

matlab代码

function y=hermite(x0,y0,y1,x);
n=length(x0);m=length(x);
for k=1:myy=0.0;for i=1:nh=1.0;a=0.0;for j=1:nif j~=ih=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2;a=1/(x0(i)-x0(j))+a;endendyy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i));end
y(k)=yy;
end

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