数值分析习题参考解答 江世宏编

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第一章 绪论

姓名 学号 班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。

1 若误差限为,那么近似数0.003400有几位有效数字？(有效数字的计算)

解：，

故具有3位有效数字。

2 具有4位有效数字的近似值是多少？(有效数字的计算)

解：，欲使其近似值具有4位有效数字，必需

，，即

即取(3.14109 , 3.14209)之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知，是经过四舍五入后得到的近似值，问，有几位有效数字？(有效数字的计算)

解：，，而，

故至少具有2位有效数字。

故至少具有2位有效数字。

4 设，的相对误差为，求的误差和相对误差？(误差的计算)

解：已知，则误差为

则相对误差为

5测得某圆柱体高度的值为，底面半径的值为，已知，，求圆柱体体积的绝对误差限与相对误差限。(误差限的计算)

解：

绝对误差限为

相对误差限为

6 设的相对误差为,求的相对误差。(函数误差的计算)

解：，

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为，问度量半径时允许的相对误差限为多大？(函数误差的计算)

解：球体积为 ，

欲使，必须 。

8 设，求证：

(1)

(2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)

解：

如果初始误差为，若是向前递推，有

可见，初始误差的绝对值被逐步地扩大了。

如果是向后递推，其误差为

可见，初始误差的绝对值被逐步减少了。

第二章 插值法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知，求的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)

解法一(待定系数法)：设，由插值条件，有

解得：。

故 。

解法二(基函数法)：由插值条件，有

2 已知，用线性插值求的近似值。(拉格朗日线性插值)

解：由插值节点与被插函数，可知，，，其线性插值函数为

的近似值为。

3 若为互异节点，且有

试证明。(拉格朗日插值基函数的性质)

解：考虑辅助函数，其中，，。

是次数不超过的多项式，在节点()处，有

这表明，有n+1个互异实根。

故，从而对于任意的均成立。

4 已知，用抛物线插值计算的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)

解：由插值条件，其抛物线插值函数为

将代入，计算可得：。

其余项为： 其中，

故误差的上界为：

。

5 用余弦函数在，，三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值多项式, 并近似计算及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗日二次插值)

解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为

绝对误差为：

相对误差为：

余项为：

，其中，

其余项的上界为：

比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。

6 已知函数值，求函数的四阶均差和二阶均差。(均差的计算)

解：采用列表法来计算各阶均差，有

x

y

一阶均差

二阶均差

三阶均差

四阶均差

0

6

1

10

4

3

46

18

14/3

4

82

36

6

1/3

6

212

65

29/3

11/15

1/15

从表中可查得：。

x

y

一阶均差

二阶均差

4

82

1

10

72/3

3

46

18

6

故。其实，根据均差的对称性，，该值在第一个表中就可以查到。

7 设求之值，其中，而节点互异。(均差的计算)

解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有

而 ，故。

8 如下函数值表

0

1

2

4

1

9

23

3

建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造)

解：

先构造均差表

x

f(x)

一阶均差

二阶均差

三阶均差

0

1

1

9

8

2

23

14

3

4

3

-10

-8

-11/4

故 。

9求一个次数小于等于三次多项式，满足如下插值条件：，，，。(插值多项式的构造)

解法一(待定系数法)：设，则

，由插值条件，有

解得：。

故

解法二(带重节点的均差法)：据插值条件，造差商表

x

y

一阶差商

二阶差商

三阶差商

1

2

2

4

2

2

4

3

1

3

12

8

5

2

故

10 构造一个三次多项式，使它满足条件(埃尔米特插值)。

解：设，

利用插值条件，有

解得：。

11 设。(1)试求在上的三次埃尔米特插值多项式，使得，以升幂形式给出。(2)写出余项的表达式。(埃尔米特插值及其余项的计算)。

解：，，，，

设，

解得：，，，。

故 。

，其中，。

12 若，试证明：

(插值余项的应用)

解：以为插值条件，作线