图论1：哥尼斯堡七桥问题的证明

结论的证明

很久很久以前，有个大名鼎鼎的地方，叫哥你是宝哥尼斯堡。。

哥尼斯堡有一条河，河里有两座小岛，两座小岛和周边的陆地总共有七座桥连接起来。这里风景优美，空气新鲜，以至于很多市民都喜欢来这边旅游观光。

Figure 1. 风景优美，空气新鲜的哥尼斯堡七桥

【NOTE】

红色方框表示桥，黑色方框表示陆地。

慢慢的，乐于游玩的市民们就想到一个问题：有没有一种办法，可以从任意一个地方出发，然后恰巧每个桥只经过一次，观赏完所有风景之后又回到起点呢？

市民们使用了各种方式：

Figure 2. 这样的

Figure 3. 这样的

Figure 4. 这样的

……

但不管怎么样都做不到。。

于是有人把这个问题写了封信，寄给了当时大名鼎鼎的数学家欧拉，

致敬欧拉大师

欧拉花了一年时间，最终证明了这个问题是无解的！

那么怎么去证明这个问题无解嘞？

欧拉大师先把地图模型简化成这样的二维模型：

Figure 5. 风景优美，空气新鲜的哥尼斯堡七桥

【NOTE】

红色方框表示桥，黑色方框表示陆地。这地方漂亮极了。

于是简化成了四个点、七条边，如何证明一个图形，从任意一点出发，每条边仅经过一次，最终又回到起点呢？

这个问题还是有点复杂，我们再对问题做一次简化，把七条边简化成一条，把四个点简化成一个点，那么得到如下模型：

Figure 6. 简化版的陆地和桥

这……这不就是一个圆嘛！！

我们给图里的圆下一个定义：

从一个点出发，经过若干条边和点之后，最终能够回到原点，整个经过的路径我们称之为圆。

所以，七桥问题其实等同于画圆问题！

不管有几个顶点，也不管有几条边，从一点出发最终回到该点，本质上就是画圆。

所以对于上述证明问题，本质上就是求解能否在图形上构造出一个圆。

对“简化版的陆地和桥”做一层抽象，其实图中只具备两个元素：

A岛：连接着X桥。

X桥：首尾两端都连接着A岛。

欧拉大师略加思索，得出一个结论，在最简单的情况下，从能够从A点画圆的充要条件为：A点必须具备一个出口，同时也必须具备一个入口。

然后我们可以引入一个概念，将点A的入口/出口的数量统称为点A的度。

让我们再做一次扩展，为A岛再建造一座桥：

Figure 7. 稍微复杂一点的陆地和桥

路线不管是 A → X → A → Y → A 还是 A → Y → A → X → A，依然可以回到原点。

A岛：连接着X桥。

X桥：首尾两端都连接着A岛。

Y桥：首尾两端都连接着A岛。

此时，A岛具备了两个入口和两个出口（4个度）。

之后，我们还可以再建造第三座桥、第四座桥，但不管建造几座桥，A点的出口数量必须等于入口的数量（即A点的度必须是偶数），否则就无法画圆：

Figure 8. 只有出口或只有入口的A岛

然后我们再回过头来看我们的“七桥”。

Figure 9. 风景优美、空气新鲜的七桥

其中，A、C、D点的度为3，B点的度为5，都是奇数，这就意味着它没有能够画圆的起点/终点。

所以欧拉大师得到结论：该问题无解！

欧拉的回路

但欧拉也不愧是数学界的大师，因为他并没有止步于证明七桥问题无解。

他往前又做了更深一层的思考：

七桥问题既然是无解的，那么什么情况下才能使问题有解呢？

要从一个点出发，最终又能回到同一点的必要条件，是起点的度必须大于0且为偶数。

而其它的点因为不是起点也不是终点，所以不能停留，一旦进入则必须走出去，所以它们的度也必须大于0且为偶数。

最后，为了经过所有的顶点和边，还必须保证所有的顶点的边是联通的，否则无法在图中只构造出一个圆。

简而言之就是两个条件： 1. 所有顶点的度都必须是偶数。 2. 所有的顶点和边都能够联通。

我们随便画一个图验证一下：

Figure 1. 五角星

所有点的度都是偶数，所以任意一点出发都能回到原点。

C → A → B → D → E → F → G → H → I → J → C → B → E → G → I → C

还有很多其它路径，咱们就不一一解释啦。

其实这也很符合一个画圆的规律：在已知的圆上任取一点，都可以沿着路径画出同样一个完整的圆。

后来，人们把符合上述条件的路径，称为 欧拉回路。

欧拉的路径

欧拉大师画完圆了之后，感觉还不得劲，这问题太简单了。

能不能不回到起点，然后又能一条路走完全场呢？

依然按照之前的思路：

如果不想回到起点，那么起点必须具备的条件为：只能有奇数个度。

终点因为至少需要一次进入了之后再也不会出去，也必须具备一个条件：只能有奇数个度。

而其它的点因为不是起点也不是终点，所以不能停留，一旦进入则必须走出去，所以它们的度也必须大于0且为偶数。

简而言之也是两个条件： 1. 只能有两个顶点的读为奇数，其他顶点的度必须大于0且为偶数。 2. 所有的顶点和边都能够联通。

我们再随便画个图验证一下：

Figure 2. 加了一笔的五角星

其中只有I和B两个点的度为奇数，因此只能从这两个点出发：

E → C → …… → C（参考没加一笔的五角星的路径）

就这么简单。

后来，人们把符合上述条件的路径，称之为欧拉路径。

这，就是哥尼斯堡七桥的故事。

欧拉大师也因此成为了最早的图论的研究者之一。

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本节涉及到的概念：

图：

文字表述：包含若干个顶点和若干条边的集合。

数学表述：图G是一个有序二元组(V,E)，其中V称为顶集(Vertices Set)，E称为边集(Edges set)，E与V不相交。它们亦可写成V(G)和E(G)。

自环（Loop）：若一条边的两个顶点为同一顶点，则此边称作自环。

度：一个顶点的度是指与该顶点相关联的边的条数，顶点v的度记作d(v)。自环边由于既是入度又是出度，因此度为2。

入度：指顶点与其关联的各边之中，以其为终点的边数。

出度：指顶点与其关联的各边之中，以其为起点的边数。

欢迎读者们提出宝贵的意见或建议，作者会持续改进。

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