106.从中序与后序遍历序列构造二叉树

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根据一棵树的中序遍历与后序遍历构造二叉树。

注意: 你可以假设树中没有重复的元素。

例如，给出

中序遍历 inorder = [9,3,15,20,7] 后序遍历 postorder = [9,15,7,20,3] 返回如下的二叉树：

#思路

首先回忆一下如何根据两个顺序构造一个唯一的二叉树，相信理论知识大家应该都清楚，就是以后序数组的最后一个元素为切割点，先切中序数组，根据中序数组，反过来在切后序数组。一层一层切下去，每次后序数组最后一个元素就是节点元素。

如果让我们肉眼看两个序列，画一棵二叉树的话，应该分分钟都可以画出来。

TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {// 第一步if (postorder.size() == 0) return NULL;// 第二步：后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);// 叶子节点if (postorder.size() == 1) return root;// 第三步：找切割点int delimiterIndex;for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;}// 第四步：切割中序数组，得到 中序左数组和中序右数组// 第五步：切割后序数组，得到 后序左数组和后序右数组// 第六步root->left = traversal(中序左数组, 后序左数组);root->right = traversal(中序右数组, 后序右数组);return root;
}

难点大家应该发现了，就是如何切割，以及边界值找不好很容易乱套。

此时应该注意确定切割的标准，是左闭右开，还有左开又闭，还是左闭又闭，这个就是不变量，要在递归中保持这个不变量。

在切割的过程中会产生四个区间，把握不好不变量的话，一会左闭右开，一会左闭又闭，必然乱套！

我在数组：每次遇到二分法，都是一看就会，一写就废 (opens new window)和数组：这个循环可以转懵很多人！ (opens new window)中都强调过循环不变量的重要性，在二分查找以及螺旋矩阵的求解中，坚持循环不变量非常重要，本题也是。

首先要切割中序数组，为什么先切割中序数组呢？

切割点在后序数组的最后一个元素，就是用这个元素来切割中序数组的，所以必要先切割中序数组。

中序数组相对比较好切，找到切割点（后序数组的最后一个元素）在中序数组的位置，然后切割，如下代码中我坚持左闭右开的原则：

// 找到中序遍历的切割点
int delimiterIndex;
for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;
}// 左闭右开区间：[0, delimiterIndex)
vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);
// [delimiterIndex + 1, end)
vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );

接下来就要切割后序数组了。

首先后序数组的最后一个元素指定不能要了，这是切割点也是当前二叉树中间节点的元素，已经用了。

后序数组的切割点怎么找？

后序数组没有明确的切割元素来进行左右切割，不像中序数组有明确的切割点，切割点左右分开就可以了。

此时有一个很重的点，就是中序数组大小一定是和后序数组的大小相同的（这是必然）。

中序数组我们都切成了左中序数组和右中序数组了，那么后序数组就可以按照左中序数组的大小来切割，切成左后序数组和右后序数组。

代码如下：

// postorder 舍弃末尾元素，因为这个元素就是中间节点，已经用过了
postorder.resize(postorder.size() - 1);// 左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点：[0, leftInorder.size)
vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());
// [leftInorder.size(), end)
vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());

此时，中序数组切成了左中序数组和右中序数组，后序数组切割成左后序数组和右后序数组。

接下来可以递归了，代码如下：

root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);
root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);

完整代码如下：

#C++完整代码

class Solution {private:TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (postorder.size() == 0) return NULL;// 后序遍历数组最后一个元素，就是当前的中间节点int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);// 叶子节点if (postorder.size() == 1) return root;// 找到中序遍历的切割点int delimiterIndex;for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;}// 切割中序数组// 左闭右开区间：[0, delimiterIndex)vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);// [delimiterIndex + 1, end)vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );// postorder 舍弃末尾元素postorder.resize(postorder.size() - 1);// 切割后序数组// 依然左闭右开，注意这里使用了左中序数组大小作为切割点// [0, leftInorder.size)vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());// [leftInorder.size(), end)vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);return root;}
public:TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;return traversal(inorder, postorder);}
};

相信大家自己就算是思路清晰，代码写出来一定是各种问题，所以一定要加日志来调试，看看是不是按照自己思路来切割的，不要大脑模拟，那样越想越糊涂。

加了日志的代码如下：（加了日志的代码不要在leetcode上提交，容易超时）

class Solution {private:TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (postorder.size() == 0) return NULL;int rootValue = postorder[postorder.size() - 1];TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);if (postorder.size() == 1) return root;int delimiterIndex;for (delimiterIndex = 0; delimiterIndex < inorder.size(); delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;}vector<int> leftInorder(inorder.begin(), inorder.begin() + delimiterIndex);vector<int> rightInorder(inorder.begin() + delimiterIndex + 1, inorder.end() );postorder.resize(postorder.size() - 1);vector<int> leftPostorder(postorder.begin(), postorder.begin() + leftInorder.size());vector<int> rightPostorder(postorder.begin() + leftInorder.size(), postorder.end());// 一下为日志cout << "----------" << endl;cout << "leftInorder :";for (int i : leftInorder) {cout << i << " ";}cout << endl;cout << "rightInorder :";for (int i : rightInorder) {cout << i << " ";}cout << endl;cout << "leftPostorder :";for (int i : leftPostorder) {cout << i << " ";}cout << endl;cout << "rightPostorder :";for (int i : rightPostorder) {cout << i << " ";}cout << endl;root->left = traversal(leftInorder, leftPostorder);root->right = traversal(rightInorder, rightPostorder);return root;}
public:TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;return traversal(inorder, postorder);}
};

此时应该发现了，如上的代码性能并不好，应为每层递归定定义了新的vector（就是数组），既耗时又耗空间，但上面的代码是最好理解的，为了方便读者理解，所以用如上的代码来讲解。

下面给出用下标索引写出的代码版本：（思路是一样的，只不过不用重复定义vector了，每次用下标索引来分割）

#C++优化版本

class Solution {private:// 中序区间：[inorderBegin, inorderEnd)，后序区间[postorderBegin, postorderEnd)TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) {if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL;int rootValue = postorder[postorderEnd - 1];TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root;int delimiterIndex;for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;}// 切割中序数组// 左中序区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)int leftInorderBegin = inorderBegin;int leftInorderEnd = delimiterIndex;// 右中序区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;int rightInorderEnd = inorderEnd;// 切割后序数组// 左后序区间，左闭右开[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd)int leftPostorderBegin =  postorderBegin;int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是 需要加上 中序区间的大小size// 右后序区间，左闭右开[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd)int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin);int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一个元素，已经作为节点了root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd);root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd);return root;}
public:TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;// 左闭右开的原则return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size());}
};

那么这个版本写出来依然要打日志进行调试，打日志的版本如下：（该版本不要在leetcode上提交，容易超时）

class Solution {private:TreeNode* traversal (vector<int>& inorder, int inorderBegin, int inorderEnd, vector<int>& postorder, int postorderBegin, int postorderEnd) {if (postorderBegin == postorderEnd) return NULL;int rootValue = postorder[postorderEnd - 1];TreeNode* root = new TreeNode(rootValue);if (postorderEnd - postorderBegin == 1) return root;int delimiterIndex;for (delimiterIndex = inorderBegin; delimiterIndex < inorderEnd; delimiterIndex++) {if (inorder[delimiterIndex] == rootValue) break;}// 切割中序数组// 左中序区间，左闭右开[leftInorderBegin, leftInorderEnd)int leftInorderBegin = inorderBegin;int leftInorderEnd = delimiterIndex;// 右中序区间，左闭右开[rightInorderBegin, rightInorderEnd)int rightInorderBegin = delimiterIndex + 1;int rightInorderEnd = inorderEnd;// 切割后序数组// 左后序区间，左闭右开[leftPostorderBegin, leftPostorderEnd)int leftPostorderBegin =  postorderBegin;int leftPostorderEnd = postorderBegin + delimiterIndex - inorderBegin; // 终止位置是 需要加上 中序区间的大小size// 右后序区间，左闭右开[rightPostorderBegin, rightPostorderEnd)int rightPostorderBegin = postorderBegin + (delimiterIndex - inorderBegin);int rightPostorderEnd = postorderEnd - 1; // 排除最后一个元素，已经作为节点了cout << "----------" << endl;cout << "leftInorder :";for (int i = leftInorderBegin; i < leftInorderEnd; i++) {cout << inorder[i] << " ";}cout << endl;cout << "rightInorder :";for (int i = rightInorderBegin; i < rightInorderEnd; i++) {cout << inorder[i] << " ";}cout << endl;cout << "leftpostorder :";for (int i = leftPostorderBegin; i < leftPostorderEnd; i++) {cout << postorder[i] << " ";}cout << endl;cout << "rightpostorder :";for (int i = rightPostorderBegin; i < rightPostorderEnd; i++) {cout << postorder[i] << " ";}cout << endl;root->left = traversal(inorder, leftInorderBegin, leftInorderEnd,  postorder, leftPostorderBegin, leftPostorderEnd);root->right = traversal(inorder, rightInorderBegin, rightInorderEnd, postorder, rightPostorderBegin, rightPostorderEnd);return root;}
public:TreeNode* buildTree(vector<int>& inorder, vector<int>& postorder) {if (inorder.size() == 0 || postorder.size() == 0) return NULL;return traversal(inorder, 0, inorder.size(), postorder, 0, postorder.size());}
};

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