高数复习（1）--曲线切向与曲面法向的理解

2024-05-07 05:44:17

（非证明，仅供理解）（实在是很好用忍不住写下来）

---------------------------结论-----------------------------

对于曲线上某点( x0 , y0 , z0 )来说

（dx，dy，dz）就是曲线该点的切向量

对于曲面F( x , y , z ) = 0上某点( x0 , y0 , z0 )来说

（Fx’，Fy’，Fz’）就是曲面该点的法向量

---------------------------解释-----------------------------

解释1.（dx，dy，dz）是切向量：

向量( dx , dy , dz )表示的本质是dx、dy、dz之间的线性的代数关系
放在直角坐标系中着手理解：
对函数 y=kx来说，dy=kdx 所以切向量就是( dx , dy ) = ( 1 , k )
对函数y=ax^2 + bx来说，dy=(ax + b)dx 所以切向量就是( dx , dy ) = ( 1 , ax+b )

可见( dx , dy , dz )实质是曲线在某点处分为极小份、视为直线时，这条直线方向向量，即是切向量

解释2.（Fx’，Fy’，Fz’）是法向量：

在理解了第一点后再来理解这一点

对于曲面上的某点来说曲面上过此点的曲线有无数多条
微分这些曲线也就对应着无数组切向量( dx , dy , dz )

但是这些切向量(微分后的曲线)有着共同的特点
那就是他们都在该点的切平面上，因此与这个切平面的法向量垂直

所以只要找到这条与它们都垂直的向量即可
这里需要借助原曲面方程F(x,y,z)=0

在该点用全微分公式对曲面方程两边求出全微分：
得到： Fx’·dx + Fy’·dy + Fz’·dz = 0
也就是：( Fx’ , Fy’ , Fz’ ) · ( dx , dy , dz ) = 0
这就说明，无论 ( dx , dy , dz )是哪一组切向量，都与( Fx’ , Fy’ , Fz’ )垂直
( Fx’ , Fy’ , Fz’ )就是切平面的法向量

---------------------------总结-----------------------------

在明确以上关系之后，无论遇到多困难的求切向题目，都能有出发点
那就是寻找dx 、 dy 、 dz的线性关系
法向实际上只要知道曲面方程，都可以求，都可以求

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