求n重幂详细过程代码及思路（java）

一. 问题描述
设给定n个变量x1,x2,-----xn.将这些变量依序作底和各层幂，可得n重幂如下：
，这里将上述n重幂看作是不确定的，当在其中加入适当的括号后，才能成为确定的n重幂。不同的加括号方式导致不同的n重幂。例如，当n=4时，全部4重幂有5个。试着设计一个动态规划算法，对n个变量计算出有多少个不同的n重幂。
二．问题分析及算法描述（包含主要变量和函数功能介绍）

方法一：一位数组
问题分析：该题目看似复杂，实则可以理解为给x1-xn添加括号，使其最终结果不同，求加括号的个数。
算法思想：由分析可知当n=1或者n=2时，其个数为1，由此为突破口。
构造数组m[n+1]用来存放结果,第0位不放。假设n>2且加括号方式在xk,xk+1之间断开，1<=k<n,则m[n]= m[k]*m[n-k]
从而m[n]可递归定义为：
m[n]= 1 n=1 or n=2
m[k]m[n-k] n>2
方法二：（二维数组）
将序列Xi，Xi+1， … xj的加括号问题简记为X[i:j],我们来看计算X[1:n]的不同加括号个数。
设计算xi:j]，1<=i<=j<=n, 所得的不同加括号个数为m[i][j]，原问题的最优值为m[1][n]。
当i=j时，m[i][j]=1;
当i+1=j时，m[i][j]=1;
当i+1<j时，若加括号方式在Xk，Xk+1之间断开，i<=k<j，
则m[i][j]= m[i][k] m[k+1][j]。
从而m[i][j]可递归地定义为

三．源程序及程序说明文件

法一：

  public class multiplePower {public static int compute(int [] m,int n){//由分析可知： 当n=1/n=2时，输出的个数只有1个if(n==1||n==2) return 1;m[1]=1;m[2]=1;//从第三个开始 由分析推导可知m[n]+= m[k]*m[n-k] （k从1---（n-1））for (int i = 3; i <=n; i++) {for (int k = 1; k < i; k++) {//p[i]表示前i个数不同加括号方法的个数 i个数可以划分为前k个数和后i-k个数m[i]+=m[k]*m[i-k];}}return m[n];}public static void main(String[] args) {System.out.println("请输入您希望输入的n重幂");Scanner scanner=new Scanner(System.in);//n重幂int x=scanner.nextInt();int [] m=new int[x+1];System.out.println("所得的结果：");System.out.println(compute(m,x));}
}

法二：

public class multiplePower {public static int compute(int i,int j,int[][] m){if(i==j||i+1==j) return 1;if(m[i][j]>0) return m[i][j];for ( int k = i; k < j; k++) {m[i][j]+=compute(i,k,m)*compute(k+1,j,m);}return m[i][j];}public static void main(String[] args) {System.out.println("请输入您希望输入的n重幂");Scanner scanner=new Scanner(System.in);int x=scanner.nextInt();int [][] m=new int[x+1][x+1];System.out.println("所得的结果：");System.out.println(compute(1,x,m));}
}

四．调试过程及分析
1> 假设在主函数中输入的n=1或者n=2,则直接返回1.
2> 当输入的值大于2，这里假设输入4.分析其运行过程，利用两个for循环，则可以更加快速的计算出需要的值，比如求n=4的值，拿k在中间断点，先求m[3]的值：m[3]=m[1]*m[2]+m[2]*m[1]，已知m[1]=m[2]=1，则m[3]=2,
m[4]=m[1]*m[3]+m[2]*m[2]+m[3]*m[1],m[3]=2,即可算出m[4]=5.其他数字也是如此。
五．窗口展示

六．算法分析（T(n)和S（n））
法一：
T(n) =O(n^2) (使用了两个for循环)
S(n)=O(n) （使用的是一维数组）
法二：
S(n)=O(n^2) （使用的是二维数组）

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