文章目录

一、Tire 树
- 1. Tire 树介绍
- 2. 优缺点及性质
- 3. 具体实现可见例题 Tire 字符串统计
二、Tire 树例题——Tire 字符串统计
- 具体实现
- - 1. 实现过程
  - 2. 代码注解
  - 3. 实现代码
三、Tire 树例题——最大异或对
- 具体实现
- - 0. 暴力做法
  - 1. 实现思路
  - 2. 实现代码

一、Tire 树

1. Tire 树介绍

Tire 树 又称单词查找树，是一种树形结构，是一种哈希树的变种。
Tire 树是一种能够快速存储和查找一组字符串集合的数据结构，是以空间换时间，利用字符串的前缀来降低查询时间。
与二叉树不同，Tire 树有 26 子节点对应 26 个字母，根节点不包含字符串，从根节点到某个节点，经过的字符连起来的字符串就是对应的字符串。当储存结束一个字符串后，尾节点会产生一个标记，表示当前字符串已经结束了。
典型应用：用于统计，排序和保存大量的字符串（但不仅限于字符串），所以经常被搜索引擎系统用于文本词频统计。
如下图就是一棵由字符串 abcdef，abdef，aced，bcdf，bcfc，bcff，cdaa，组成的 Tire 树：

2. 优缺点及性质

优点：利用字符串的公共前缀来减少查询时间，最大限度地减少无谓的字符串比较，查询效率比哈希树高。
缺点：空间复杂度比较大。
优化：我们可以用链表来动态开辟空间，达到空间上利用率的最大化。
性质：
（1）根结点不包含字符，其他的每一个节点只包含一个字符。
（2）从根结点到某一节点，路径上经过的字符连接起来，为该节点对应的字符串（假如某个节点为一个字符串的结尾，对其打个标记即可）。
（3）每个节点的所有子节点包含的字符都不相同。

3. 具体实现可见例题 Tire 字符串统计

二、Tire 树例题——Tire 字符串统计

题目描述

维护一个字符串集合，支持两种操作：
I x 向集合中插入一个字符串 x；
Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。
共有 N 个操作，所有输入的字符串总长度不超过 1e5，字符串仅包含小写英文字母。

输入格式

第一行包含整数 N，表示操作数。
接下来 N 行，每行包含一个操作指令，指令为 I x 或 Q x 中的一种。

输出格式

对于每个询问指令 Q x，都要输出一个整数作为结果，表示 x 在集合中出现的次数。
每个结果占一行。

数据范围

1 ≤ N ≤ 2∗1e4

输入样例

5
I abc
Q abc
Q ab
I ab
Q ab

输出样例

1
0
1

具体实现

1. 实现过程

Tire 树的插入和查询功能的实现。
（1） I x 向集合中插入一个字符串 x。

void insert(char str[])
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++)   {int u=str[i]-'a';if(!son[p][u]){idx++;son[p][u]=idx;          }p=son[p][u];}cnt[p]++;
}

（2）Q x 询问一个字符串在集合中出现了多少次。

int query(char str[])
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++) {int u=str[i]-'a';if(!son[p][u]){return 0;}else{p=son[p][u];}}return cnt[p];
}

2. 代码注解

int son[N][26]; 表示树当中每个点的所有子节点。
int cnt[N]; 表示以当前这个点结尾的单词有多少个。
int idx; 表示当前用到了哪个下标。这里需要注意：下标是 0 的点，既是根节点，又是空节点。
C++ 字符串结尾是 \0 ，因此 str[i] 可以判断字符串是否走到结尾。
int u=str[i]-‘a’; 将小写字母 a~z ，映射成数字 0~25。

3. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=100010;
int son[N][26];
int cnt[N];
char str[N];
int idx;
void insert(char str[])
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++)  {int u=str[i]-'a';if(!son[p][u]){idx++;son[p][u]=idx;}p=son[p][u];}cnt[p]++;
} int query(char str[])
{int p=0;for(int i=0;str[i];i++) {int u=str[i]-'a';if(!son[p][u]){return 0;}p=son[p][u];}return cnt[p];
}int main()
{int n;cin>>n;while(n--){char op[2];scanf("%s%s",op,str);if(op[0]=='I'){insert(str);}else{cout<<query(str)<<endl;}}system("pause");return 0;
}

三、Tire 树例题——最大异或对

题目描述

在给定的 N 个整数 A₁，A₂……A_N 中选出两个进行 xor（异或）运算，得到的结果最大是多少？

输入格式

第一行输入一个整数 N。
第二行输入 N 个整数 A₁～A_N。

输出格式

输出一个整数表示答案。

数据范围

1 ≤ N ≤ 1e5
0 ≤ A_i < 2的31次方

输入样例

3
1 2 3

输出样例

3

具体实现

0. 暴力做法

暴力做法通俗易懂，两个 for 循环，相互枚举每一个值，异或，最后答案为其中的最大值。
暴力做法虽然易做，但是会出现超时问题。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N=100010;
int n;
int a[N];
int main()
{cin>>n;for(int i=0;i<n;i++){cin>>a[i];}int res=0;for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<n;j++){res=max(res,a[i]^a[j]);}}cout<<res<<endl;system("pause"); return 0;
}

1. 实现思路

首先，需要搞清楚 异或操作。
如果 A = 1101 ，B = 0111，那么 A ^ B = 1010。详细讲解请见基础算法-位运算
对暴力做法进行优化，使其满足时间限制。
由异或操作的计算公式可知，我们只需要先遍历每一个数，然后根据遍历的数的对应二进制形式，选取一个尽可能二进制形式每一位都不同的数字，得到该数字的最大异或值，最后再选举最大的异或值。在得到每一个数字的最大亦或值的选取过程就是一个 Tire 数。
举例说明：

2. 实现代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;const int N = 100010, M = 3100010;
int n;
int a[N], son[M][2], idx;void insert(int x)
{int p = 0;for (int i = 30; i >= 0; i -- ){int &s = son[p][x >> i & 1];if (!s) {idx ++;s = idx;}p = s;}
}int search(int x)
{int p = 0, res = 0;for (int i = 30; i >= 0; i -- ){int s = x >> i & 1;if (son[p][!s]){res += 1 << i;p = son[p][!s];}else {p = son[p][s];}}return res;
}int main()
{cin >> n;for (int i = 0; i < n; i ++ ){cin >> a[i];insert(a[i]);}int res = 0;for (int i = 0; i < n; i ++ ){res = max(res, search(a[i]));}cout << res << endl;system("pause");return 0;
}

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0. 暴力做法

1. 实现思路

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