射线与AABB相交检测

Box2D使用了一个叫做 slab 的碰撞检测算法。

在2D中AABB是一个矩形边界框，slab 指的是矩形一组平行线之间的范围，所以在2D中矩形边界框四条边，两两一组，可以组成两个 slab。

如下图：

平行于Y轴的两条边(紫色线)之间的范围是 x-slab，范围无限长，宽度限制在两条紫色线之间

平行于X轴的两条边(红色线)之间的范围是 y-slab ，范围无限长，宽度限制在两条红色线之间

中间灰色比较深的部分就是矩形框，它是两个slab的重合部分，即属于x-slab 也属于 y-slab

则有下面几条规则：

2D 中

1.如果一个点在 AABB内，则该点必定同时在 x-slab、y-slab

2.如果一条射线和AABB相交，则这条射线和两个 slab 相交部分必定有重合部分

3.同理在3D中 1、2 依然满足，因为3D AABB是六个面，有三对相互平行的面，每一对平行的面之间的范围就是一个 slab。因为 3D 不好绘制，下面依然用 2D讲述

射线与AABB边界框相交情况如下图

射线R1

在 t1 位置进 y-slab

在 t2 位置出 y-slab

在 t3 位置进 x-slab

在 t4 位置出 x-slab

注：t1、t2、t3、t4 为从射线起点到各个交点的距离

但是区间 (t1, t2) 和 (t3, t4) 没有重叠部分，则判定R1与AABB不相交

射线R2

在 t1 位置进 x-slab

在 t3 位置进 y-slab

在 t2 位置出 x-slab

在 t4 位置出 y-slab

区间 (t1, t2) 和 (t3, t4) 有重叠部分(图中绿色线条) t3 到 t2 部分，绿色线条部分既属于 x-slab，又属于 y-slab 部分，则判定射线 R2 与 AABB相交

由上得出结论，如果射线与AABB各个面相交的 t 区间有重叠部分，则射线与AABB相交

还有一种情况就是射线的反向延长线与 slab 相交，判定为相交无效

下面计算射线与AABB各个面的相交结果

令

射线与x-slab相交的t值为 (t1，t2)，t1 < t2

射线与y-slab相交的t值为 (t3，t4)，t3 < t4

射线与z-slab 相交的 t值为 (t5，t6)，t5 < t6

只要满足区间 (t1，t2) ，(t3，t4)，(t5，t6)，在一维数轴上有重叠部分就说明射线与AABB相交，到此可以发现我们将 3D、2D 问题降维到了 1维数轴上数值比较的问题了。

方法就是判断 t1、t3、t5中最大值 < t2、t4、t6中最小值

相交条件为：Max(t1, t3, t5 ) < Min(t2, t4,t6)

射线方程： p + t * rayDir

其中 p为射线起点，rayDir 为射线的方向向量，t 为射线长度系数。

平面方程为 S * n = d

注：上边两个方程中 * 的作用

当用在点 * 向量或向量 * 向量时就是向量点乘(Dot）

当用在数值 * 向量就是数值乘 (X)

其中 S 为平面上的点，n为平面法向量，d为原点(0, 0, 0)到平面的距离。

如果射线与平面相交，令交点为 V，则点 V 即在射线上，也在平面上

代入射线方程中：V = p + t * rayDir

代入平面方程中：V * n = d，即 Dot( V , n ) = d

注：下面使用 Dot 表示点乘

将 V 展开为（p + t * rayDir）得到

Dot(( p + t * rayDir) , n) = d

Dot(p, n) + Dot(t * rayDir, n) = d

Dot(t * rayDir, n) = d - Dot(p, n)

t * Dot(rayDir, n) = d - Dot(p, n)

t = (d - Dot(p, n)) / Dot(rayDir, n)

射线与平面相交点距离射线起点距离t的距离公式为 t = (d - Dot(p, n)) / Dot(rayDir, n)

注意：Dot(rayDir, n)，射线向量与AABB某个面法向量点乘，当这两个向量垂直时，也就是射线平行于平面时，点乘结果为 0

AABB 以最小点 Min(x, y, z)、最大点Max(x, y, z) 表示

AABB 的六个面的方程满足

Dot(Min, normal) = d

Dot(Max, normal) = d

其中 normal 可分别表示为 AABB的三个轴向 (1, 0, 0)，(0, 1, 0)，(0, 0, 1)

求射线与 x-slab 相交值为 t1,t2

令t1< t2，如果 t1 > t2 ,则 t1、t2值互换

求射线与 y-slab相交值为 t3,t4

令t3< t4，如果 t3 > t4 ,则t3、t4值互换

求射线与 z-slab相交值为 t5,t6

令t5< t6，如果 t5 > t6 ,则t5、t6值互换

(t1，t2) ，(t3，t4)，(t5，t6) 如果有一组数据两个值都小于 0，如 (t1 = -1、t2 = -3) ，则射线与AABB不相交，

下一步：如果 t1、t2 、t3 、t4、 t5 、t6 有小于 0 的，令其值 = 0

代码逻辑如下，关于图3的情况我还没有验证

AABB定义

public class AABB
{public Vector3 min;public Vector3 max;public AABB(Vector3 min, Vector3 max){this.min = min;this.max = max;}
}

逻辑代码

/// <summary>
/// 射线与AABB相交检测
/// 下面方法是 射线与 3D AABB 相交的计算
/// 如果想计算 射线与 2D AABB 相交，则将下方关于 z 坐标的部分删除即可
/// </summary>
public class RayAABBCollision
{/// <summary>/// 判断射线与AABB是否相交/// </summary>/// <param name="source">射线起点</param>/// <param name="rayDir">射线方向</param>/// <param name="aabb">AABB</param>/// <returns></returns>public bool IsCollision(Vector3 source, Vector3 rayDir, AABB aabb){float length = 0;return IsCollision(source, rayDir, aabb, ref length);}/// <summary>/// 判断射线与AABB是否相交/// </summary>/// <param name="raySource">射线起点</param>/// <param name="rayDir">射线方向</param>/// <param name="aabb">AABB</param>/// <param name="point">射线与AABB交点坐标</param>/// <returns></returns>public bool IsCollision(Vector3 raySource, Vector3 rayDir, AABB aabb, ref Vector3 point){float length = 0;bool collision = IsCollision(raySource, rayDir, aabb, ref length);point = raySource + rayDir * length;return collision;}/// <summary>/// 判断射线与AABB是否相交/// </summary>/// <param name="raySource">射线起点</param>/// <param name="rayDir">射线方向向量</param>/// <param name="aabb">AABB</param>/// <param name="length">射线起点到相交点距离</param>/// <returns></returns>public bool IsCollision(Vector3 raySource, Vector3 rayDir, AABB aabb, ref float length){float t1 = 0;float t2 = 0;bool collision = Calculate(raySource, rayDir, aabb, new Vector3(1, 0, 0), ref t1, ref t2);if (!collision || !CheckValue(ref t1, ref t2)){return false;}float t3 = 0;float t4 = 0;collision = Calculate(raySource, rayDir, aabb, new Vector3(0, 1, 0), ref t3, ref t4);if (!collision || !CheckValue(ref t3, ref t4)){return false;}float t5 = 0;float t6 = 0;collision = Calculate(raySource, rayDir, aabb, new Vector3(0, 0, 1), ref t5, ref t6);if (!collision || !CheckValue(ref t5, ref t6)){return false;}float entryT1 = Math.Max(Math.Max(t1, t3), t5);float entryT2 = Math.Min(Math.Min(t2, t4), t6);length = entryT1;return (entryT1 < entryT2);}/// <summary>/// 射线与平面相交计算/// </summary>/// <param name="raySource">射线起点</param>/// <param name="rayDir">射线方向向量</param>/// <param name="aabb">aabb</param>/// <param name="normal">平面法向量</param>/// t = (d - Dot(raySource, normal)) / Dot(rayDir, normal)/// d = Dot(planePoint, normal)/// t = (Dot(planePoint, normal)  - Dot(raySource, normal)) / Dot(rayDir, normal)/// t = Dot((planePoint - raySource), normal) / Dot(rayDir, normal)private bool Calculate(Vector3 raySource, Vector3 rayDir, AABB aabb, Vector3 normal, ref float t1, ref float t2){float p_sub_r_dot_n1 = Vector3.Dot(aabb.min - raySource, normal);float p_sub_r_dot_n2 = Vector3.Dot(aabb.max - raySource, normal);float r_dot_n = Vector3.Dot(rayDir, normal);if (Math.Abs(r_dot_n) <= float.Epsilon)  // 射线垂直于平面法向量，所以射线与平面平行{float dot1 = Vector3.Dot(aabb.min - raySource, normal);float dot2 = Vector3.Dot(aabb.max - raySource, normal);if (dot1 * dot2 > 0){return false;}}t1 = p_sub_r_dot_n1 / r_dot_n;t2 = p_sub_r_dot_n2 / r_dot_n;return true;}private bool CheckValue(ref float value1, ref float value2){if (value1 < 0 && value2 < 0){return false;}value1 = Mathf.Clamp(value1, 0, value1);value2 = Mathf.Clamp(value2, 0, value2);if (value1 > value2){float temp = value1;value1 = value2;value2 = temp;}return true;}
}

测试结果，测试动画总AABB边红色为相交

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