本项目上接《用两天学习光线追踪》，继续学习光线追踪。
项目链接：https://github.com/maijiaquan/ray-tracing-with-imgui

目录：
《用两天学习光线追踪》1.项目介绍和ppm图片输出
《用两天学习光线追踪》2.射线、简单相机和背景输出
《用两天学习光线追踪》3.球体和表面法向量
《用两天学习光线追踪》4.封装成类
《用两天学习光线追踪》5.抗锯齿
《用两天学习光线追踪》6.漫反射材质
《用两天学习光线追踪》7.反射向量和金属材质
《用两天学习光线追踪》8.折射向量和电介质
《用两天学习光线追踪》9.可放置相机
《用两天学习光线追踪》10.散焦模糊

《用一周学习光线追踪》1.动态模糊
《用一周学习光线追踪》2.BVH树、AABB相交检测
《用一周学习光线追踪》3.纯色纹理和棋盘纹理
《用一周学习光线追踪》4.柏林噪声
《用一周学习光线追踪》5.球面纹理贴图
《用一周学习光线追踪》6.光照和轴对齐矩形
《用一周学习光线追踪》7.长方体和平移旋转

本节内容

射线和物体的相交检测，是光线追踪器的主要时间瓶颈，目前时间复杂度是线性的。有两种方法可以将时间复杂度降低到对数级别：一是空间划分，二是物体划分。本节将用BVH实现物体划分，对当前的项目进行加速。

层次包围体 BVH

Bounding volume hierarchy (BVH) 层次包围体

摘自BVH维基百科：在BVH中，所有的几何物体都会被包在bounding volume的叶子节点里面，bounding volume外面继续包着一个更大的bounding volume，递归地包裹下去，最终形成的根节点会包裹着整个场景。常用于碰撞检测和光线追踪的加速，能够将时间复杂度降低到关于物体数量的对数级别。

举例：找个volume包围10个物体，如果射线没击中这个volume，那么射线肯定没击中这10个物体。
注意：把物体分成子集，可能会bounding volums重叠的情况。
例如用方框来包围物体，一堆物体被分成红色和蓝色两组，这两组物体又被更大的紫色方框包围。

伪代码如下：

if (hits purple)hit0 = hits blue enclosed objectshit1 = hits red enclosed objectsif (hit0 or hit1)return true and info of closer hit
return false

最常见的bounding volume就是AABB。

轴对齐包围盒 AABB

轴对齐包围盒：axis-aligned bounding box, 缩写为 AABB

可用slab方法检测射线于AABB相交。

下图是一个2D的AABB：

下图是射线在x方向上的相交情况：

p(t)=A+t⋅Bp(t) = A + t \cdot Bp(t)=A+t⋅B

x0=Ax+t0⋅Bxx_0 = A_x + t_0 \cdot B_xx0=Ax+t0⋅Bx

则x轴方向上的t区间为：
t0=x0−AxBxt_0 = \frac{x_0 - A_x}{B_x} t0=Bxx0−Ax

t1=x1−AxBxt_1 = \frac{x_1 - A_x}{B_x} t1=Bxx1−Ax

射线和AABB是否相交，可以转化为不同轴方向上的t区间是否重叠。

如下图绿色区间和蓝色区间。

2D情况写成伪代码：

compute (tx0, tx1)
compute (ty0, ty1)
return overlap?( (tx0, tx1), (ty0, ty1))

3D情况写成伪代码：

compute (tx0, tx1)
compute (ty0, ty1)
compute (tz0, tz1)
return overlap?( (tx0, tx1), (ty0, ty1), (tz0, tz1))

注意2个问题：
1.射线沿着x轴的反方向发射，区间会反过来，例如(7,3)
2.分母可能为0

tx0=x0−AxBxt_{x0} = \frac{x_0 - A_x}{B_x} tx0=Bxx0−Ax

tx1=x1−AxBxt_{x1} = \frac{x_1 - A_x}{B_x} tx1=Bxx1−Ax

BxB_xBx为0的情况，tx0t_{x0}tx0 和 tx1t_{x1}tx1都会是正无穷或者负无穷，tx0t_{x0}tx0 和 tx1t_{x1}tx1可以分别取两者之间的较小者和较大者。

tx0=min(x0−AxBx,x1−AxBx)t_{x0} = min(\frac{x_0 - A_x}{B_x}, \frac{x_1 - A_x}{B_x}) tx0=min(Bxx0−Ax,Bxx1−Ax)

tx1=max(x0−AxBx,x1−AxBx)t_{x1} = max(\frac{x_0 - A_x}{B_x}, \frac{x_1 - A_x}{B_x}) tx1=max(Bxx0−Ax,Bxx1−Ax)

问题2：Bx=0B_x = 0Bx=0 的同时，x0−Ax=0x_0 - A_x = 0x0−Ax=0 或 x1−Ax=0x_1-A_x= 0x1−Ax=0，这个问题稍后再处理。

假设没有反转区间，只需处理两对t区间是否重叠，伪代码如下：

bool overlap(d, D, e, E)f = max(d, e) //f为两者起点的最大值F = min(D, E)    //F为两者终点的最小值return (f < F)   //区间相交条件：f<F

f为两者起点的最大值，F为两者终点的最小值，区间相交条件：f<F。
可参考下图理解：

3D的情况，则需要多判断一次，写成代码如下：

inline float ffmin(float a, float b) { return a < b ? a : b; }
inline float ffmax(float a, float b) { return a > b ? a : b; }class aabb {public:vec3 _min; //左下角顶点vec3 _max; //右上角顶点aabb() {}aabb(const vec3& a, const vec3& b) { _min = a; _max = b;}vec3 min() const {return _min; }vec3 max() const {return _max; }//判断射线是否在t区间bool hit(const ray &r, float tmin, float tmax) const{for (int a = 0; a < 3; a++){float invD = 1.0f / r.direction()[a];float t0 = (min()[a] - r.origin()[a]) * invD;float t1 = (max()[a] - r.origin()[a]) * invD;if (invD < 0.0f)std::swap(t0, t1);tmax = t1 < tmax ? t1 : tmax;   //F为两者终点的最小值tmin = t0 > tmin ? t0 : tmin;   //f为两者起点的最大值if (tmax <= tmin)       //F <= freturn false;}return true;}
};

此外我们还需要计算2个box的包围盒：

//计算2个box的包围盒
aabb surrounding_box(aabb box0, aabb box1)
{vec3 small(ffmin(box0.min().x(), box1.min().x()),ffmin(box0.min().y(), box1.min().y()),ffmin(box0.min().z(), box1.min().z()));vec3 big(ffmax(box0.max().x(), box1.max().x()),ffmax(box0.max().y(), box1.max().y()),ffmax(box0.max().z(), box1.max().z()));return aabb(small, big);
}

用bounding_box来设置物体的包围盒，目前场景中的物体只有sphere，但后续会新增其他物体（例如无边界的平面），这些物体不一定都会有包围盒，所以该函数返回bool值。对于动态模糊球体moving_sphere则需要时间间隔参数来模拟相机快门曝光，所以参数里面带上t0和t1。
在基类hittable中定义虚函数bounding_box()，并在子类中分别实现：

class hittable {public:...virtual bool bounding_box(float t0, float t1, aabb& box) const = 0;
};bool moving_sphere::bounding_box(float t0, float t1, aabb &box) const
{aabb box0(center(t0) - vec3(radius, radius, radius), center(t0) + vec3(radius, radius, radius));aabb box1(center(t1) - vec3(radius, radius, radius), center(t1) + vec3(radius, radius, radius));box = surrounding_box(box0, box1);return true;
}bool sphere::bounding_box(float t0, float t1, aabb &box) const
{box = aabb(center - vec3(radius, radius, radius), center + vec3(radius, radius, radius));return true;
}bool hittable_list::bounding_box(float t0, float t1, aabb &box) const
{if (list_size < 1)return false;aabb temp_box;bool first_true = list[0]->bounding_box(t0, t1, temp_box);if (!first_true)return false;elsebox = temp_box;for (int i = 1; i < list_size; i++){if (list[i]->bounding_box(t0, t1, temp_box)){box = surrounding_box(box, temp_box);}elsereturn false;}return true;
}

BVH树的实现

下面开始实现BVH树，定义BVH树的节点为bvh_node类，继承自hittable。目前hittable子类的继承关系如下：

sphere

hittable

moving_sphere

hittable_list

bvh_node

每个bvh_node都有一个AABB和左右孩子指针，左右孩子同样指向hittable的指针，可能指向bvh_node，也可能指向sphere或其他hittable子类。

hit()函数非常简单粗暴：检查当前节点的box是否命中，若是，则检查该节点的左右孩子（可能是bvh_node或sphere）是否命中。

对于所有的加速结构（包括BVH），最复杂的部分就是创建。使用自顶向下创建BVH树的方式如下：

1.随机选择x,y,z轴中的一个
2.对该轴正方向的顺序对物体排序，并分成前后两半
3.前一半物体放左子树，后一半物体放右子树，继续对左右子树递归创建。如果左右子树的物体数量等于2，直接左右节点分别指向物体。如果等于1，则左右节点均指向该物体。最后将当前节点的aabb设置为包含左右子树的box。

class bvh_node : public hittable
{public:bvh_node() {}hittable *left;hittable *right;aabb box;bool bounding_box(float t0, float t1, aabb &b) const{b = box;return true;}bool hit(const ray &r, float t_min, float t_max, hit_record &rec) const{if (box.hit(r, t_min, t_max)){hit_record left_rec, right_rec;bool hit_left = left->hit(r, t_min, t_max, left_rec);bool hit_right = right->hit(r, t_min, t_max, right_rec);if (hit_left && hit_right){if (left_rec.t < right_rec.t)rec = left_rec;elserec = right_rec;return true;}else if (hit_left){rec = left_rec;return true;}else if (hit_right){rec = right_rec;return true;}elsereturn false;}elsereturn false;}bvh_node(hittable **l, int n, float time0, float time1){int axis = int(3 * random_double());if (axis == 0)qsort(l, n, sizeof(hittable *), box_x_compare);else if (axis == 1)qsort(l, n, sizeof(hittable *), box_y_compare);elseqsort(l, n, sizeof(hittable *), box_z_compare);if (n == 1){left = right = l[0];}else if (n == 2){left = l[0];right = l[1];}else{left = new bvh_node(l, n / 2, time0, time1);right = new bvh_node(l + n / 2, n - n / 2, time0, time1);}aabb box_left, box_right;if (!left->bounding_box(time0, time1, box_left) ||!right->bounding_box(time0, time1, box_right)){std::cerr << "no bounding box in bvh_node constructor\n";}box = surrounding_box(box_left, box_right);}
};

x轴上的qsort()比较函数如下：

int box_x_compare (const void * a, const void * b) {aabb box_left, box_right;hittable *ah = *(hittable**)a;hittable *bh = *(hittable**)b;if (!ah->bounding_box(0,0, box_left) || !bh->bounding_box(0,0, box_right))std::cerr << "no bounding box in bvh_node constructor\n";if (box_left.min().x() - box_right.min().x() < 0.0)return -1;elsereturn 1;
}

同理可实现y轴和z轴的比较函数。

修改random_scene的返回值：

hittable *random_scene() {...// return new hittable_list(list,i);return new bvh_node(list, i, 0.0, 1.0);
}

测试结果

43s，比上一节的92s快了接近一倍。

参考资料：Ray Tracing: The Next Week

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