XTU 2021计网期中测试-冰冰的逆序数

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题目描述

冰冰是木木的妹妹，她读二年级，她的老师出了一道逆序数的题。

逆序数定义如下：

给定一个数列{a1,a2,a3...an}，共有 n 个数，如果对于一对 i,j(i<j),有 ai>aj，我们称 (ai,aj)为原数列的一个逆序对。

例如：给定 {3,4,1,2} 数列，(3,1),(3,2),(4,1),(4,2) 都为此数列的逆序对，共计 4 个逆序对。我们称 4 为这个数列的逆序数。

老师的问题是对于一个 1 到 n 的排列，这个排列的全排列的逆序总和为多少？
给定一个1 到 n 的排列，询问这个排列的全排列的逆序总和。

为了方便理解，例子如下：

一个 1 到 3 的排列，共有 6 种排列方式。

1,2,3，1,3,2，2,1,3，2,3,1，3,1,2，3,2,1。

逆序数分别为 0,1,1,2,2,3所以总数为 9。

补充：排列的定义

一个长度为 n 的数列，必须包含 {1,2,3...n}，每个数出现且出现一次。

输入描述:

一个整数 n，n∈[1,10^5]。

输出描述:

一个整数，为排列的逆序总和。因为结果可能很大，输出答案对 23333333 取模。

示例1

输入

输出

示例2

输入

输出

14188812

说明

实际结果远大于输出，取模后输出答案与样例一致

思路：这题目其实也是一个动态规划的题，理解了很好做。设dp[i]表示第i个数的逆序数个数。

那我们来看看，i=1只有0种。

i=2的时候，

i=3的时候，有三块，我们可以插入3到任何一个位置

最右边的时候增加0逆序对，插中间的时候增加了2个逆序对，插最左边的时候增加了......4个逆序对，所以总共是3+0+2+4=9个逆序对，规律到这其实里还不明显。

我们再来看看i=4(简写了，只贴了放到最右边的，剩下3块的读者可以自己去尝试)

放到最右边那么增加0，那么往左边移动一位就增加6咯.........再移动一位就是增加12咯。到这里规律就明显了。

i表示有多少块，每块依次增加(i-1)!*n。比如i=3，第一块增加2!*0，第二块增加2!*1，第三块增加2!*2.......到这里，代码是不是就出来了呢？

如下所示(非AC代码)：

#include <iostream>using namespace std;int main()
{long long dp[100001];dp[1]=0;dp[2]=1;int i=0,n,j=0;long long s=1;cin>>n;for(i=3;i<=n;i++){s=s*(i-1)%23333333;for(j=0;j<i;j++){dp[i]+=dp[i-1]+(j*s);}dp[i]=dp[i]%23333333;}cout<<dp[n];return 0;
}

思路没有任何毛病，只是TLE而已，因为这里多了j循环，我们可以维护一下，去掉循环。

那我们可以再优化一下，i=3的时候，有1*3+3*2=9个，i=4的时候，有 9*4+6*6=72，i=5的时候，有72*5+10*24个，dp[i]=dp[i-1]*i+(i-1)!*k，k=k+i-1，k初始为1。这是我自己推出来的规律，读者可以根据我前面说的基础内容自己推断，这里不再提供多述。

AC代码:

#include <iostream>using namespace std;int main()
{long long dp[100001];dp[1]=0;dp[2]=1;int i=0,n;long long s=1,k=1;//防止溢出，范围设置大一点cin>>n;for(i=3;i<=n;i++){s=s*(i-1)%23333333;//阶乘，记得取余，一定要！k=(k+i-1)%23333333;dp[i]=(dp[i-1]*i+s*k)%23333333;}cout<<dp[n];return 0;
}

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