最详解——寻找两个有序数组的中位数

参考：【分步详解】两个有序数组中的中位数和Top K问题

题目描述

给定两个大小为 m 和 n 的有序数组 nums1 和 nums2。

请你找出这两个有序数组的中位数，并且要求算法的时间复杂度为 O(log(m + n))。

你可以假设 nums1 和 nums2 不会同时为空。

示例 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

则中位数是 2.0
示例 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

则中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/median-of-two-sorted-arrays

思路分析

一个增序数组

要寻求一个数组的中位数，很容易让人联想到用二分法解决

对于偶数个元素的数组A，假定其元素个数为 n，下标从0开始，其中位数是 (A[(n-1)/2] + A[n/2])/2

对于偶数个元素的数组B，假定其元素个数为m，下标从0开始，其中位数是A[m/2]

隐含条件：任何一个存在中位数的数组，其中位数都会将数组分割成等长的两份，并且左边小于中位数，右边大于中位数

两个增序数组

接下来推广，从上面的结论很容易得出，对于两个增序数组A,B，如果数组A中存在一个下标 i ，数组B中存在一个下标 j ，使得 len(数组A+数组B的左边) == len(数组A+数组B的右边)，并且存在一个数使得A和B的左边都比它小，A和B的右边都比它大，那这个数就是这两个增序数组的中位数。

left_part	Cut	right_part
A[0]，A[1]，…，A[i]	/	A[i+1]，A[i+2]，…，A[m-1]
B[0]，B[1]，…，B[j]	/	B[j+1]，B[j+2]，…，B[n-1]

用表达式来表示上面的两个条件就是

i+j == m-1-i + n-1-j
A[i] <= B[j+1] && B[j] <= A[i+1]

双数组长度的奇偶

一个数组的奇偶有两种情况，可以想象，如果考虑双数组的奇偶，将是会有 2*2 = 4种情况，这将会大大增加编程难度，那么有没有一种方法让我们不用考虑奇偶。

让数组恒为奇数

操作很简单，就是给每个元素的左右加一个字符，比如 ‘#’，长度变为2*n+1，ex:

before	len	after	len
{1,2,3}	3	{#,1,#,2,#,3,#}	7
{4,5,6,7}	4	{#,4,#,5,#,6,#,7,#}	9

这样加的好处不光解决了奇偶的问题，还让获取元素的方法化简了，对于任何一个元素，都可以通过现在的位置/2 得到原来的位置，比如{#,1,#,2,#,3,#}中的2，它的位置是a[3]，通过 3/2 == 1，可以得到原来的位置，{1,2,3}中的a[1] == 2，{#,4,#,5,#}中的5，位置是a[3]，3/2 == 1，即{4,5,6,7}中的a[1] == 5

当然这个操作并不需要在代码里实现，这里只是帮助理解

等式变换

接下来看这个等式

i+j == m-1-i + n-1-j

由于数组长度增加，第一个等式变为

i+j == 2*m+1-1-i + 2*n+1-1-j
i+j == 2*m-i + 2*n-j
i+j == m+n

由此可得出 j == m+n-i，其中 i (0~2*m)

由于 j > 0，因此可以得出 m+n-i > 0，由 i 的取值范围，最终得出此关系成立的条件是 n>m，即第二个数组的大小一定要比第一个大。

分治策略

接下来看这个等式

A[i] <= B[j+1] && B[j] <= A[i+1]

那么分治的策略就很明显了

如果 A[i] > B[j+1]，说明A数组的左边太长了，应该向左二分

如果 B[j] > A[i+1]，说明A数组的左边太短了，应该向右二分

临界点

如果 i == 0 或 j == 0 或 i == 2*m 或 j == 2*n，那么A[i+1]，B[j+1]等等都不存在，此时，到达临界的数组整体可能都比另一数组中的某一值小(大)，那么中值在另一数组中。

代码

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;class Solution
{
public:double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2){int m = nums1.size();int n = nums2.size();if(m>n)             //保证数组1长度<数组2长度return findMedianSortedArrays(nums2,nums1);int l1 = 0,l2 = 0,r1 = 0,r2 = 0,i = 0,j = 0,imin = 0,imax = 2*m; //下标为0~2*mwhile(imin <= imax)   //存在空数组的情况，因此要有={i = (imax+imin)/2;j = m+n-i;l1 = (i == 0)?INT_MIN:nums1[(i-1)/2];r1 = (i == 2*m)?INT_MAX:nums1[i/2];l2 = (j == 0)?INT_MIN:nums2[(j-1)/2];r2 = (j == 2*n)?INT_MAX:nums2[j/2];if(l1>r2)imax = i-1;else if(l2>r1)imin = i+1;elsebreak;}return (max(l1,l2)+min(r1,r2))/2.0;}};int main()
{vector<int> a = {1,2,4,5};vector<int> b = {3};Solution Sve;cout<<Sve.findMedianSortedArrays(a,b);return 0;
}