江苏大学 离散数学 期末/考研复试 复习题整理
写在前面的话
基于左孝凌、李为监、刘永才《离散数学》，上海科学技术文献出版社。
一
证明：P→(Q→R),Q→(R→S)⇒(P∧Q)→SP\to(Q\to R),Q\to(R\to S)\Rightarrow(P\land Q)\to SP→(Q→R),Q→(R→S)⇒(P∧Q)→S
解答：
| (1) | P∧QP \land QP∧Q | 附加前提 |
| (2) | PPP | T(1)IT(1) IT(1)I |
| (3) | P→(Q→R)P \to (Q \to R)P→(Q→R) | PPP |
| (4) | Q→RQ \to RQ→R | T(2)(3)IT(2)(3)IT(2)(3)I |
| (5) | QQQ | T(1)IT(1)IT(1)I |
| (6) | Q→(R→S)Q\to (R\to S)Q→(R→S) | PPP |
| (7) | R→SR\to SR→S | T(6)IT(6)IT(6)I |
| (8) | RRR | T(4)(5)IT(4)(5)IT(4)(5)I |
| (9) | SSS | T(7)(8)IT(7)(8)IT(7)(8)I |
| (10) | (P∧Q)→S(P\land Q)\to S(P∧Q)→S | CP规则 |
二
命题符号化：或者逻辑难学，或者苏格拉底不喜欢它；如果数学容易学，那么逻辑不难学。因此，若苏格拉底喜欢逻辑，则数学并不难学。（设P：逻辑难学，Q:苏格拉底不喜欢逻辑，R：数学容易学）
解答
P∨Q,R→¬P⇒¬Q→RP\lor Q,R\to \neg P\Rightarrow\neg Q\to RP∨Q,R→¬P⇒¬Q→R
三
命题符号化并证明：所有有理数都是实数，所有无理数也是实数，所有虚数不是实数。因此，所有虚数既不是有理数又不是无理数。(设A(x)表示x是有理数，B(x)表示x是无理数，C(x)表示x是实数，D(x)表示x是虚数）
解答
(∀x)(A(x)→C(x)),(∀x)(B(x)→C(x)),(∀x)(D(x)→¬C(x))⇒(∀x)(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x)))(\forall x)(A(x)\to C(x)),(\forall x)(B(x)\to C(x)),(\forall x)(D(x)\to \neg C(x))\Rightarrow (\forall x)(D(x)\to (\neg A(x)\land \neg B(x)))(∀x)(A(x)→C(x)),(∀x)(B(x)→C(x)),(∀x)(D(x)→¬C(x))⇒(∀x)(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x)))
| (1) | ¬(∀x)(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x)))\neg (\forall x)(D(x)\to (\neg A(x)\land \neg B(x)))¬(∀x)(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x))) | P(附加前提)P(附加前提)P(附加前提) |
| (2) | (∃x)¬(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x))(\exists x)\neg(D(x)\to(\neg A(x)\land \neg B(x))(∃x)¬(D(x)→(¬A(x)∧¬B(x)) | T(1)IT(1)IT(1)I |
| (3) | ¬(D(c)→¬A(c)∧¬B(c))\neg (D(c)\to \neg A(c)\land\neg B(c))¬(D(c)→¬A(c)∧¬B(c)) | (2)ES(2)ES(2)ES |
| (4) | D(c)∧(A(c)∨B(c))D(c)\land(A(c)\lor B(c))D(c)∧(A(c)∨B(c)) | T(3)ET(3)ET(3)E |
| (5) | D(c)D(c)D(c) | T(4)IT(4)IT(4)I |
| (6) | A(c)∨B(c)A(c)\lor B(c)A(c)∨B(c) | T(4)IT(4)IT(4)I |
| (7) | (∀x)(A(x)→C(x))(\forall x)(A(x)\to C(x))(∀x)(A(x)→C(x)) | PPP |
| (8) | A(b)→C(b)A(b)\to C(b)A(b)→C(b) | US(7)US(7)US(7) |
| (9) | (∀x)(B(x)→C(x))(\forall x)(B(x)\to C(x))(∀x)(B(x)→C(x)) | PPP |
| (10) | B(b)→C(b)B(b)\to C(b)B(b)→C(b) | US(9)US(9)US(9) |
| (11) | (A(b)∨B(b))→C(b)(A(b)\lor B(b))\to C(b)(A(b)∨B(b))→C(b) | T(8)(10)ET(8)(10)ET(8)(10)E |
| (12) | C(b)C(b)C(b) | T(11)IT(11)IT(11)I |
| (13) | (∀x)C(x)(\forall x)C(x)(∀x)C(x) | UG(12)UG(12)UG(12) |
| (14) | (∀x)(D(x)→¬C(x))(\forall x)(D(x)\to\neg C(x))(∀x)(D(x)→¬C(x)) | PPP |
| (15) | D(d)→¬C(d)D(d)\to\neg C(d)D(d)→¬C(d) | US(14)US(14)US(14) |
| (16) | ¬D(d)\neg D(d)¬D(d) | T(13)(15)IT(13)(15)IT(13)(15)I |
| (17) | (∀x)¬D(x)(\forall x)\neg D(x)(∀x)¬D(x) | UG(16)UG(16)UG(16) |
| (18) | (∃x)D(x)(\exists x)D(x)(∃x)D(x) | EG(5)EG(5)EG(5) |
| (19) | (∀x)¬D(x)∧(∃x)D(x)(\forall x)\neg D(x)\land (\exists x)D(x)(∀x)¬D(x)∧(∃x)D(x) | T(17)(18)IT(17)(18)IT(17)(18)I |
产生矛盾，即原命题得证
四
求公式真假值
(∀x)(P(x)→Q(x))∧R(5)(\forall x)(P(x)\to Q(x))\land R(5)(∀x)(P(x)→Q(x))∧R(5)
其中，P(x):x>1;Q(x):x≤3;R(x):x>5;P(x):x>1;Q(x):x\le 3;R(x):x>5;P(x):x>1;Q(x):x≤3;R(x):x>5;论域{−2,3,6}\{-2,3,6\}{−2,3,6}
解答：
(∀x)(P(x)→Q(x))∨R(5)(\forall x)(P(x)\to Q(x))\lor R(5)(∀x)(P(x)→Q(x))∨R(5)
R(x):x>5R(x):x>5R(x):x>5,即R(5)R(5)R(5)为FFF
(∀x)(P(x)→Q(x))(\forall x)(P(x)\to Q(x))(∀x)(P(x)→Q(x))
P(−2)→Q(−2)P(-2)\to Q(-2)P(−2)→Q(−2),其中，P(−2)P(-2)P(−2)为FFF,Q(−2)Q(-2)Q(−2)为TTT,P(−2)→Q(−2)P(-2)\to Q(-2)P(−2)→Q(−2)为TTT
P(3)→Q(3)P(3)\to Q(3)P(3)→Q(3),其中，P(3)P(3)P(3)为TTT,Q(3)Q(3)Q(3)为TTT,P(3)→Q(3)P(3)\to Q(3)P(3)→Q(3)为TTT
P(6)→Q(6)P(6)\to Q(6)P(6)→Q(6),其中，P(6)P(6)P(6)为TTT,Q(6)Q(6)Q(6)为FFF,P(6)→Q(6)P(6)\to Q(6)P(6)→Q(6)为FFF
(∀x)(P(x)→Q(x))(\forall x)(P(x)\to Q(x))(∀x)(P(x)→Q(x))为FFF
即原式为FFF
五
设A,B,CA,B,CA,B,C是任意三个集合，求证：
（1）(A−B)−C=A−(B∪C)(A-B)-C=A-(B\cup C)(A−B)−C=A−(B∪C)
（2）A−(A∩B)=(A∪B)−BA-(A\cap B)=(A\cup B)-BA−(A∩B)=(A∪B)−B
解答：
(1)
(A−B)−C(A-B)-C(A−B)−C
={x∣x∈A∧x∉B∧x∉C}=\{x|x\in A \land x\notin B\land x\notin C\}={x∣x∈A∧x∈/B∧x∈/C}
={x∣x∈A∧x∉(B∪C)}=\{x|x\in A\land x\notin (B\cup C)\}={x∣x∈A∧x∈/(B∪C)}
=A−(B∪C)=A-(B\cup C)=A−(B∪C)
(2)
A−(A∩B)A-(A\cap B)A−(A∩B)
={x∣x∈A∧x∉(A∩B)}=\{x|x\in A \land x\notin(A\cap B)\}={x∣x∈A∧x∈/(A∩B)}
={x∣x∈A∧¬x∈(A∩B)}=\{x|x\in A \land \neg x\in(A\cap B)\}={x∣x∈A∧¬x∈(A∩B)}
={x∣x∈A∧¬(x∈A∧x∈B)}=\{x|x\in A \land \neg (x\in A \land x\in B)\}={x∣x∈A∧¬(x∈A∧x∈B)}
={x∣x∈A∧(¬x∈A∨¬x∈B)}=\{x|x\in A \land (\neg x\in A \lor \neg x\in B)\}={x∣x∈A∧(¬x∈A∨¬x∈B)}
={x∣(x∈A∧¬x∈A)∨(x∈A∧¬x∈B)}=\{x|(x\in A\land \neg x\in A)\lor(x\in A \land \neg x\in B)\}={x∣(x∈A∧¬x∈A)∨(x∈A∧¬x∈B)}
={x∣(x∈A)∧¬(x∈B)}=\{x|(x\in A)\land \neg (x\in B)\}={x∣(x∈A)∧¬(x∈B)}
=A−B=A-B=A−B
(A∪B)−B(A\cup B)-B(A∪B)−B
={x∣(x∈A∨x∈B)∧(x∉B)}=\{x|(x\in A\lor x\in B)\land (x\notin B)\}={x∣(x∈A∨x∈B)∧(x∈/B)}
={x∣(x∈A∧x∉B)∨(x∈B∧x∉B)}=\{x|(x\in A\land x\notin B)\lor(x\in B\land x\notin B)\}={x∣(x∈A∧x∈/B)∨(x∈B∧x∈/B)}
={x∣x∈A∧x∉B)}=\{x|x\in A \land x\notin B)\}={x∣x∈A∧x∈/B)}
=A−B=A-B=A−B
A−(A∩B)=(A∪B)−BA-(A\cap B)=(A\cup B)-BA−(A∩B)=(A∪B)−B
六
集合A={1,2,3,4,6,9,12,24},RA=\{1,2,3,4,6,9,12,24\},RA={1,2,3,4,6,9,12,24},R为AAA上的整除关系
（1）画出<A,R><A,R><A,R>的哈斯图。
（2）找出AAA的最大元素，最小元素，极小元素，极大元素。
（3）找出AAA的上界、下界、上确界和下确界。
解答：
（1）
（2）
无最大元素
最小元素：1
极大元素：24或9
极小元素：1
（3）
上界为9或24
下界为1
无上确界
下确界为1
七
假设给定了正整数的序偶集合BBB，在BBB上定义二元关系R:<<x,y>,<a,b>>∈RR:<<x,y>,<a,b>>\in RR:<<x,y>,<a,b>>∈R,当且仅当x+b=y+ax+b=y+ax+b=y+a,证明RRR是BBB上的一个等价关系。
解答：
自反性：
对于<<x,y>,<x,y>>,x+y=x+y<<x,y>,<x,y>>,x+y=x+y<<x,y>,<x,y>>,x+y=x+y,
则自反性成立，
<<x,y>,<x,y>>∈R<<x,y>,<x,y>> \in R<<x,y>,<x,y>>∈R
对称性：
对任一<<x,y>,<a,b>><<x,y>,<a,b>><<x,y>,<a,b>>和<<a,b>,<x,y>><<a,b>,<x,y>><<a,b>,<x,y>>，
若<<x,y>,<a,b>>∈R,x+b=y+a<<x,y>,<a,b>>\in R,x+b=y+a<<x,y>,<a,b>>∈R,x+b=y+a,
则<<a,b>,<x,y>><<a,b>,<x,y>><<a,b>,<x,y>>也满足x+b=y+a,<<a,b>,<x,y>>∈Rx+b=y+a,<<a,b>,<x,y>>\in Rx+b=y+a,<<a,b>,<x,y>>∈R,对称性成立。
传递性：
对<<x,y>,<a,b>>∈R<<x,y>,<a,b>>\in R<<x,y>,<a,b>>∈R和<<a,b>,<c,d>>∈R<<a,b>,<c,d>>\in R<<a,b>,<c,d>>∈R,
x+b=y+a,a+d=b+cx+b=y+a,a+d=b+cx+b=y+a,a+d=b+c,则x+d=y+cx+d=y+cx+d=y+c,则<<x,y>,<c,d>>∈R<<x,y>,<c,d>>\in R<<x,y>,<c,d>>∈R
RRR满足自反、对称、传递，则RRR是BBB上的等价关系。
八
设<G,∗><G,*><G,∗>是群，SSS是GGG的非空子集。证明：对于∀a,b∈S\forall a,b\in S∀a,b∈S,有a∗b−1∈Sa*b^{-1}\in Sa∗b−1∈S,当且仅当<S,∗><S,*><S,∗>是<G,∗><G,*><G,∗>的子群。
解答：
充分性：
任取SSS元素c,c∈S⊆G,a∗e=e∗ac,c\in S\subseteq G,a*e=e*ac,c∈S⊆G,a∗e=e∗a,即eee也是SSS的幺元。
对a∈S,e∈S,e∗a−1∈S,a−1∈Sa\in S,e\in S,e*a^{-1}\in S,a^{-1}\in Sa∈S,e∈S,e∗a−1∈S,a−1∈S即存在逆元。
对a,b∈S,b−1∈S,b=(b−1)−1,a∗b=a∗(b−1)−1∈Sa,b\in S,b^{-1}\in S,b=(b^{-1})^{-1},a*b=a*(b^{-1})^{-1}\in Sa,b∈S,b−1∈S,b=(b−1)−1,a∗b=a∗(b−1)−1∈S，即存在封闭
GGG是群，(a∗b)∗c=a∗(b∗c)(a*b)*c=a*(b*c)(a∗b)∗c=a∗(b∗c),对∀a,b,c,∈S\forall a,b,c,\in S∀a,b,c,∈S也有结合性，即SSS是群。
必要性：
当<S,∗><S,*><S,∗>是<G,∗><G,*><G,∗>子群，对a∈S,b∈S,a∗a−1=ea\in S,b\in S,a*a^{-1}=ea∈S,b∈S,a∗a−1=e,而eee是幺元，由<S,∗><S,*><S,∗>是<G,∗><G,*><G,∗>子群知e∈S,b∗b−1=ee\in S,b*b^{-1}=ee∈S,b∗b−1=e,则a∗b−1∈Sa*b^{-1}\in Sa∗b−1∈S成立。
九
设RRR是实数集，f,g,hf,g,hf,g,h是RRR上的三个函数：f(x)=x+3,g(x)=3x,h(x)=x/6f(x)=x+3,g(x)=3x,h(x)=x/6f(x)=x+3,g(x)=3x,h(x)=x/6，求复合函数f∘g,f∘f,f∘h,h∘g,f∘h∘gf\circ g,f\circ f,f\circ h,h\circ g,f\circ h\circ gf∘g,f∘f,f∘h,h∘g,f∘h∘g
解答：
f∘g=f(g(x))=3x+3f\circ g=f(g(x))=3x+3f∘g=f(g(x))=3x+3
f∘f=x+6f\circ f=x+6f∘f=x+6
f∘h=f(h(x))=x/6+3f\circ h=f(h(x))=x/6+3f∘h=f(h(x))=x/6+3
h∘g=h(g(x))=x/2h\circ g=h(g(x))=x/2h∘g=h(g(x))=x/2
f∘h∘g=f(h(g(x)))=f(h(3x))=f(x/2)=x/2+3f\circ h\circ g=f(h(g(x)))=f(h(3x))=f(x/2)=x/2+3f∘h∘g=f(h(g(x)))=f(h(3x))=f(x/2)=x/2+3
十
设fff是从代数系统<A,☆><A,☆><A,☆>到<B,∗><B,*><B,∗>的同态映射，若<A,☆><A,☆><A,☆>是群，则<f(A),∗><f(A),*><f(A),∗>也是群。
解答：
(a)<A,☆><A,☆><A,☆>是群，xxx有逆元x−1,f(x−1)∈f(A)x^{-1},f(x^{-1})\in f(A)x−1,f(x−1)∈f(A)
f(x)∗f(x−1)=f(x☆x−1)=f(e)=f(x−1☆x)=f(x−1)∗f(x)f(x)*f(x^{-1})=f(x☆x^{-1})=f(e)=f(x^{-1}☆x)=f(x^{-1})*f(x)f(x)∗f(x−1)=f(x☆x−1)=f(e)=f(x−1☆x)=f(x−1)∗f(x)
即f(x−1)f(x^{-1})f(x−1)是f(x)f(x)f(x)逆元，f(x−1)=f(x)−1f(x^{-1})=f(x)^{-1}f(x−1)=f(x)−1，即存在逆元。
(b)若eee是AAA幺元，则f(e)f(e)f(e)是f(A)f(A)f(A)幺元。
对∀a∈f(A)\forall a\in f(A)∀a∈f(A)必有x∈A,f(x)=ax\in A,f(x)=ax∈A,f(x)=a
a∗f(e)=f(x)∗f(e)=f(x☆e)=f(x)=a=f(e☆x)=f(e)∗f(x)=f(e)∗aa*f(e)=f(x)*f(e)=f(x☆e)=f(x)=a=f(e☆x)=f(e)*f(x)=f(e)*aa∗f(e)=f(x)∗f(e)=f(x☆e)=f(x)=a=f(e☆x)=f(e)∗f(x)=f(e)∗a
即存在幺元。
(c)若f(x)=a,f(y)=b,z=x☆y,a∗b=f(x)∗f(y)=f(x☆y)=f(z)∈f(A)f(x)=a,f(y)=b,z=x☆y,a*b=f(x)*f(y)=f(x☆y)=f(z)\in f(A)f(x)=a,f(y)=b,z=x☆y,a∗b=f(x)∗f(y)=f(x☆y)=f(z)∈f(A)
设f(w)=cf(w)=cf(w)=c
a∗(b∗c)a*(b*c)a∗(b∗c)
=f(x)∗((f(y)∗f(w))=f(x)∗(y☆w)=f(x)*((f(y)*f(w))=f(x)*(y☆w)=f(x)∗((f(y)∗f(w))=f(x)∗(y☆w)
=f(x☆(y☆w))=f((x☆y)☆w)=f(x☆(y☆w))=f((x☆y)☆w)=f(x☆(y☆w))=f((x☆y)☆w)
=f(x☆y)∗f(w)=(f(x)∗f(y))∗f(w)=f(x☆y)*f(w)=(f(x)*f(y))*f(w)=f(x☆y)∗f(w)=(f(x)∗f(y))∗f(w)
=(a∗b)∗c=(a*b)*c=(a∗b)∗c
存在结合性。
即<f(A),∗><f(A),*><f(A),∗>封闭,可结合，含幺元，对每个元素都有逆元，是群。
十一
设简单图G=<V,E>G=<V,E>G=<V,E>,且结点数为vvv，边数为eee,如果e=(v−1)(v−2)/2+2e=(v-1)(v-2)/2+2e=(v−1)(v−2)/2+2,则GGG具有汉密尔顿回路。
解答：
当v=3,e=3v=3,e=3v=3,e=3,成立
当v=4,e=5v=4,e=5v=4,e=5,成立
当v=5,e=8v=5,e=8v=5,e=8,成立
推广到v≥3v\ge 3v≥3
先证：e≥(v−2)(v−3)/2+2e\ge (v-2)(v-3)/2+2e≥(v−2)(v−3)/2+2时，GGG是汉密尔顿图。
用反证法，若GGG不是汉密尔顿图。
存在结点u1,u2∈V,deg(u1)+deg(u2)≤v−1u_1,u_2\in V,deg(u_1)+deg(u_2)\le v-1u1,u2∈V,deg(u1)+deg(u2)≤v−1
在图G−{u1,u2}G-\{u_1,u_2\}G−{u1,u2}中，结点数为v−2v-2v−2,边数≤1/2∗(v−2)(v−3)\le 1/2*(v-2)(v-3)≤1/2∗(v−2)(v−3)
GGG中边数e≤1/2(v−2)(v−3)+v−1e\le 1/2(v-2)(v-3)+v-1e≤1/2(v−2)(v−3)+v−1,
e<(v−1)(v−2)/2+2e<(v-1)(v-2)/2+2e<(v−1)(v−2)/2+2,与假设矛盾。
则e≥(v−2)(v−3)/2+2e\ge (v-2)(v-3)/2+2e≥(v−2)(v−3)/2+2时，GGG是汉密尔顿图
而(v−1)(v−2)/2+2>(v−2)(v−2)/2+2(v-1)(v-2)/2+2>(v-2)(v-2)/2+2(v−1)(v−2)/2+2>(v−2)(v−2)/2+2
十二
如图所示的七个城市a,b,c,d,e,f,ha,b,c,d,e,f,ha,b,c,d,e,f,h架起城市间直接通讯线路，每条边的边权表示两个邻接城市的预测造价。试给出一个设计方案，使得各城市间能够通讯且总造价最小，并计算出最小造价。
解答：
e1=ahe_1=ahe1=ah
e2=fee_2=fee2=fe
e3=cde_3=cde3=cd
e4=cbe_4=cbe4=cb
e5=afe_5=afe5=af
e6=abe_6=abe6=ab
最小造价为20
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