微积分基本概念相关证明 —— 导数与极限（洛必达法则）

0. 导数的证明：定义

(uv)′=u′v+uv′(uv)'=u'v+uv'(uv)′=u′v+uv′

导数定义：

(uv)′=u(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x)Δx=u(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)−u(x)v(x)Δx=u′v+uv′\begin{array}{rl} (uv)'=&\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\ =&\frac{u(x+\Delta x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x+\Delta x)+u(x)v(x+\Delta x)-u(x)v(x)}{\Delta x}\\ =&u'v+uv' \end{array} (uv)′===Δxu(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x)Δxu(x+Δx)v(x+Δx)−u(x)v(x+Δx)+u(x)v(x+Δx)−u(x)v(x)u′v+uv′

1. 极限的求解：洛必达法则

lim⁡x→0xlog⁡x=lim⁡x→0log⁡x1/x =LH lim⁡x→01/x−1/x2=lim⁡x→0−x2x=lim⁡x→0−x=0.\lim \limits_{x \to 0} x \log{x} = \lim \limits_{x \to 0} \frac{\log x}{1/x} \, \stackrel{LH}{=} \, \lim \limits_{x \to 0} \frac{1/x}{-1/x^2}=\lim \limits_{x \to 0} \frac{-x^2}{x} = \lim \limits_{x \to 0} -x = 0.x→0limxlogx=x→0lim1/xlogx=LHx→0lim−1/x21/x=x→0limx−x2=x→0lim−x=0.

2. 导数的求解

xxx^xxx
- ax⇒axln⁡aa^x ⇒ a^x\ln aax⇒axlna
- xn⇒nxn−1x^n ⇒ nx^{n-1}xn⇒nxn−1
- xx⇒eln⁡xx=exln⁡x⇒exln⁡x(ln⁡x+1)x^x ⇒ e^{\ln x^x}=e^{x\ln x} ⇒ e^{x\ln x}(\ln x+1)xx⇒elnxx=exlnx⇒exlnx(lnx+1)

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