参考视频 MIT 微积分课程

两个函数相乘的导数

( f ( x ) g ( x ) ) ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + g ′ ( x ) f ( x ) (f(x)g(x))^{'}=f^{'}(x)g(x)+g^{'}(x)f(x) (f(x)g(x))′=f′(x)g(x)+g′(x)f(x) 这是我们都非常熟悉的公式，熟悉到根本不知道是咋推出来的
其实推导这个公式有两种方法，一种就是靠定义 f ′ ( x ) = f ( x + Δ x ) − f ( x ) Δ x f^{'}(x)=\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} f′(x)=Δxf(x+Δx)−f(x)，另一种推导的方式是一个很简单的作图法
对于第一种方法的证明，可以参考这篇文章
本文主要是通过第二种思路进行证明

几何法证明导数相乘

f ( x ) f(x) f(x)
g ( x ) g(x) g(x)
p ( x ) = f ( x ) g ( x ) p(x)=f(x)g(x) p(x)=f(x)g(x)
首先我们简写一下方便表示，将 p = f ⋅ g p=f \cdot g p=f⋅g
然后我们把这个面积画一下
现在 x x x 发生了一点点改变，这个改变是 Δ x \Delta x Δx
那么面积图相应的也就变了：
根据这个图：
Δ p = f ⋅ Δ g + g ⋅ Δ f + Δ f Δ g \Delta p=f\cdot \Delta g+g\cdot \Delta f+\Delta f\Delta g Δp=f⋅Δg+g⋅Δf+ΔfΔg
Δ p Δ x = f ⋅ Δ g + g ⋅ Δ f + Δ f Δ g Δ x \frac{\Delta p}{\Delta x}=\frac{f\cdot \Delta g+g\cdot \Delta f+\Delta f\Delta g}{\Delta x} ΔxΔp=Δxf⋅Δg+g⋅Δf+ΔfΔg
当对 Δ x \Delta x Δx 取极限的时候 lim ⁡ Δ x → 0 \lim_{\Delta x\to 0} limΔx→0 公式就变成了

d p d x = f d g d x + g d f d x + Δ f Δ g Δ x \frac{dp}{dx}=f\frac{dg}{dx}+g\frac{df}{dx}+\frac{\Delta f\Delta g}{\Delta x} dxdp=fdxdg+gdxdf+ΔxΔfΔg

而很显然 Δ f Δ g Δ x \frac{\Delta f\Delta g}{\Delta x} ΔxΔfΔg 是个二阶项，通俗来说也就是说他小的可以忽略，因为如果我们按照常规对他取极限你会发现 lim ⁡ Δ x → 0 Δ f Δ g Δ x = d f d x ⋅ Δ g \lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta f\Delta g}{\Delta x}=\frac{df}{dx}\cdot \Delta g Δx→0limΔxΔfΔg=dxdf⋅Δg
而由于 Δ x → 0 \Delta x \rightarrow 0 Δx→0 所以 Δ g → 0 \Delta g\rightarrow 0 Δg→0 所以这一项的结果就是 0 0 0，所以就只剩下前面两项。
所以，这个相乘项的导数证明完成

两个函数相除的导数

q ( x ) = f ( x ) g ( x ) q(x)=\frac{f(x)}{g(x)} q(x)=g(x)f(x)

现在对 q ( x ) q(x) q(x) 求导公式进行推导，首先把除法转换成乘法公式：
f ( x ) = q ( x ) g ( x ) f(x)=q(x)g(x) f(x)=q(x)g(x)
f ( x ) ′ = d f d x = q d g d x + g d q d x f(x)^{'}=\frac{df}{dx}=q\frac{dg}{dx}+g\frac{dq}{dx} f(x)′=dxdf=qdxdg+gdxdq
现在要组合出 d q d x \frac{dq}{dx} dxdq 单独一项

d f d x − q d g d x = g d q d x \frac{df}{dx}-q\frac{dg}{dx}=g\frac{dq}{dx} dxdf−qdxdg=gdxdq

d f d x = f g ⋅ d g d x + g d q d x \frac{df}{dx}=\frac{f}{g}\cdot \frac{dg}{dx}+g\frac{dq}{dx} dxdf=gf⋅dxdg+gdxdq

两边同乘 g g g

g d f d x = f d g d x + g 2 d q d x g\frac{df}{dx}=f\frac{dg}{dx}+g^2\frac{dq}{dx} gdxdf=fdxdg+g2dxdq

而 q = f g q=\frac{f}{g} q=gf 所以式子最终等于得证：

d q d x = g d f d x − f d g d x g 2 \frac{dq}{dx}=\frac{g\frac{df}{dx}-f\frac{dg}{dx}}{g^2} dxdq=g2gdxdf−fdxdg

通过面积证明：两个函数相乘 / 相除的导数为什么长成这样？相关推荐

matlab计算两向量的乘积,matlab中两个函数相乘
变量名最多不超过63个字符; ? 变量名区分大小写; ? Matlab提供的标准函数名以及命令名必须用小写字母; ? 变量名中不能包含空格.标点.运算符. 1.变量及其...... 中的元素; (2) ...
函数相乘和相除的导数及证明
函数求导简介函数相乘求导 [ f ( x ) ⋅ g ( x ) ] ′ = f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) [f(x)\cdot g(x)]'=f'(x ...
两个数相乘积一定比每个因数都大_两个多位数相乘，积一定比每一个因数都大。[ ]...
两个多位数相乘,积一定比每一个因数都大.[ ] 更多相关问题图甲是我国古代著名的"赵爽弦图"的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的．在Rt△ABC中,若直角边AC=6,BC= ...
pandas 中上下两行相减(隔行相减) -- shift函数的使用
pandas 中上下两行相减(隔行相减) -- shift函数的使用最近使用pandas处理数据,需求是想相邻两行上下相减,查API发现shift函数,很灵活,.你也可以隔任意行相减. p['xx_ ...
mysql时间相减得到天数保留两位_[转]Mysql日期函数-日期相减返回天数
MySQL datediff(date1,date2):两个日期相减 date1 - date2,返回天数. select datediff('2008-08-08', '2008-08-01'); ...
二元函数最大最小值定理证明_代数基本定理，用复数证明所有多项式函数都有根...
根据代数基本定理,每个多项式在其定义域内的某个点上都有一个根.虽然这个定理早在18世纪初就已经被提出(由三位数学家,彼得·罗斯,艾伯特·吉拉尔和勒内·笛卡尔提出),但是第一个(非严格的)证明是在174 ...
java中两个复数相乘_用java实现复数的加减乘除运算
用java实现复数的加减乘除运算 1. 背景老师在课上布置了几道java编程题,此为其中之一 2. 题目内容设计一个类Complex,用于封装对复数的下列操作: (1)一个带参数的构造函数,用于初 ...
php 获取参数名和参数值,如何快速的获得url地址中参数名和参数值（在看PHP手册的时候无意间看见这两个函数，猜想能不能搭配使用。）...
今天在看手册的时候,无意间看到这两个内置函数parse_url和parse_str.看到他们的用法后,我突然想到能不能利用这两个函数来获得url地址中的参数.为了验证我的猜想,我就以如下url为例子: ...
c语言怎么写tg的反函数,关于y=x对称的两个函数表达式有什么特点改怎么写比如对数函数...
关于y=x对称的两个函数表达式有什么特点改怎么写比如对数函数答案:4 信息版本:手机版解决时间 2021-05-05 18:05 已解决 2021-05-05 00:10 关于y=x对称的两 ...

通过面积证明：两个函数相乘 / 相除的导数为什么长成这样？

两个函数相乘的导数

几何法证明导数相乘

两个函数相除的导数

通过面积证明：两个函数相乘 / 相除的导数为什么长成这样？相关推荐

最新文章

热门文章