Gauss-Jordan法求逆矩阵

转载来源于：

http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter3/chapter3.2.htm

http://student.zjzk.cn/course_ware/web-gcsx/gcsx/chapter1/chapter1.2.htm#21

先回顾一下高斯消元法：

§1.2 消元法与矩阵的初等变换

定义1. 由m个方程，n个未知量组成的线性方程组的一般

形式是：

其中 为未知量， 是第i个方程中未知量 的系数 称为常数项。如果 不全为零，则称方程组为非齐次线性方程组; 如果 全为零，则称方程组为齐次线性方程组。

线性方程组和矩阵有密切的关系，未知量的系数所组成的 矩阵

称为方程组的系数矩阵。常数项也可以组成一个 矩阵，

即列矩阵

如果把b添写在系数矩阵A的右边，便得到 矩阵

称 为方程组的增广矩阵。显然，增广矩阵完全确定了线性方程组。

如果存在一组常数：

，使得 满足方程组，称为方程组的一个解。如果两个线性方程组有相同的解，则称它们是同解的。

例1. 用消元法求解线性方程组

消去了

上面最后这个方程组称为阶梯形方程组，其中各方程组所含未知量的个数，从上一方程到下一方程在逐步减少，因此它就是我们希望转化的形式。要解出方程组的解，现在只需逐步回代：先把 (19) 解出的 代入 (18),，得 在把， 代入(17),得 ，于是得方程组得解：

，，

分析上述消元的过程，容易看出它实际上只是对方程组反复施行一下3种变换：

(1) 交换变换：交换第i 行与第j 行的位置（记为 ）

(2) 倍法变换：用非零数k乘第i行（记为 ，或）

(3) 消法变换：把第i 行的k倍加到第j行上去（记为 或或）

分别称为矩阵的第一种，第二种，第三种初等行变换，统称为矩阵的初等行变换。

因此，对方程组施行的初等变换，相当于对方程组的增广矩阵施行相应的初等行变换。

例2．

上面最后这个矩阵称为阶梯形矩阵，与它对应的方程组就是前面的阶梯形方程组。阶梯形矩阵是线性代数中常用的一种矩阵，它的定义是：

定义2. 称满足下列两个条件的矩阵为阶梯形矩阵：

(1)如果存在零行（元素全是零的行），则零都在非零行（元素不全为零的行）的下边；

(2)每个首非零元（非零行最左边的非零元素）所在的列中，位于这个非零元下边的元素全是零。

例如，下列矩阵都是阶梯形矩阵。

下列矩阵都不是阶梯形矩阵：

例2．用初等行变换将矩阵

化成首非零元都是1 的阶梯形矩阵

解：

前面我们给出了矩阵初等行变换的定义，如果将这个定义中的“行”都换成“列”，它就是矩阵初等列变换的定义（约定今后用记号“ ” ，“ ”，“ ” 等，分别表示矩阵的第一种，第二种，和第三种初等列变换）。

定义3. 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。

如果矩阵A经过若干次初等行（列）变换后变成了矩阵B，则称A与B行（列）等价，或称A行（列）等价于B，简称A等价于B，记为 。

行数列数均相同的二个矩阵称为同型矩阵。

矩阵等价是同型矩阵之间的一种关系。这种关系具有下列基本性质：

(1) 反身性： ；

(2) 对称性：若 ，则；

(3) 传递性：若 ，，则；

矩阵行等价和矩阵列等价统称为矩阵等价。

§3.2.高斯—约当消元法

在1.2节曾对求解线性方程组的消元法作过初步讨论，下面我们通过矩阵的初等变换，对消元法作进一步的研究。

我们可通过消法变换把矩阵化为成标准型和上三角形等。用以下定理得到的算法，规律性强，更适宜于用计算机解题。

定理一. 任意一个非零矩阵可经初等变换化为下

面形式的矩阵

该矩阵称为矩阵A的标准形

证明因A≠0，不妨设a₁₁≠0，这是因为，假若a₁₁=0，

我们可用交换变换，将A中的某一非零元素调换到第一行第一列

上去。对A施行初等变换，得

，

如果A₁=0，则B已是标准形了，如果A₁¹0，同样可不妨设

b₂₂≠0，继续对B进行等变换，得

令

，

同样，若A₂=0，则是C已是标准形，若A₂≠0，重复上述步骤，

必可得到矩阵的标准形。特别，当 r=m<n时，A的标准形为

[E_m，0]

当r=m>n时，A的标准形为

，

当r=m=n时，A的标准形为E_n。

例1.

此法常用来求矩阵的秩。注意，此法有列变换，不适宜于解线性方程组。

定理二.任一非零阵A=（a_ij）_m_×_n，可经消法变换化为上三角阵。

……®A^*

下面写出此消元法的算法:(设a_kk^(k)¹0)

当m>n

当m<n

当m=n

例2

A＝

此方法通常称为高斯消元法，常用于解线性方程组和矩阵的秩的计算。如例2中矩阵A的秩r(A)＝3。

例3．

解：

A^*X = B^* 为

x₃=2,

定理三. 任一非零方阵A=(a_ij)_n_×_n可经初等行变换化为标准型。

证明：

与定理一的区别在于

1）不用列变换。

2）第j列消元时，不只是消去1的下方的元素，而是同时消去

j列中除主对角线元素之外的所有元素。

3）对第n列也需要消元。

下面写出此消元法的算法:(若 a_kk¹ 0)

例4

＝I

此方法通常称为高斯—约当方法，常用于解线性方程组和求

逆矩阵。

从例子可见，高斯—约当方法把一个非奇异的矩阵A变成了单位矩阵I，也就是相当于在A的左边乘上了A^-1，于是对增广矩阵 ，A^-1b=x即为线性方程组Ax=b的解。 增广的部分就是A^-1。

例5．求矩阵

的逆矩阵。

得

高斯—约当消元法也可以同时解几个系数矩阵相同的方程组。

例6．

一起解

解由于

对应矩阵可逆，于是可用初等行变换求解。

得矩阵方程的解

其实是同时解了

二个线性方程组。

例7

解：再从最下边的一个主元1开始，依次把每个主元1上边的元素都化成零：

这就把化成了简化行阶梯形矩阵，对应的同解方程组是

其中未知量x₁，x₂，x₃对应于主元1，我们称它们为约束未知量(通常我们把对应于单位向量的未知量作为约束未知量)；而把方程组中除约束未知量外的其它未知量（这里只有x₄）称为自由未知量。由上面的方程组中解出约束未知量，这只要将自由未知量移到方程右端去，即得

解有无穷多组，表示了此方程组的全部解。若任给x₄的一个值，由上式就可唯一的定出x₁，x₂，x₃的一组解，从而连同给定的x₄的值，就可得到方程组的一个解。例如，令x₄＝2，代入上式就得到方程组的一个解 x₁=-3，x₂=-1, x₃=1, x₄=2

如果令x₄＝-4，代入上式就得到方程组的另一个解

x₁=6，x₂=5, x₃=－2, x₄=－4

定义1. ,用自由未知量表示约束未知量的表达式称为线性方程组的通解。表示了线性方程组的全部解。

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