逆矩阵定义

逆矩阵指的是另一个矩阵和自己相乘会变成单位矩阵，符号是右上角一个 − 1 -1 −1，就是：
A A − 1 = A − 1 A = I AA^{-1}=A^{-1}A=I AA−1=A−1A=I
例如以下两个矩阵就是互为逆矩阵：
( − 1 1 0 0 − 3 2 1 0 1 1 0 − 1 4 − 4 − 1 1 ) ( 1 1 1 1 2 1 1 1 − 1 2 1 1 3 2 1 2 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 0\\ -3 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 4 & -4 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 2\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} −1−314121−4010−100−11 12−13112211111112 = 1000010000100001

伴随矩阵

求逆矩阵最死板的办法就是伴随矩阵法了。这种算法因为计算量超级大，所以性能比较低，不建议使用，但是我还是要讲讲。首先，什么是伴随矩阵adjugate matrix呢？伴随矩阵符号是一个*号，是由每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置（千万不要忘了转置啊）。矩阵A的第i行第j列的代数余子式cofactor记作 A i j A_{ij} Aij，所以伴随矩阵的定义如下：
A ∗ = ( A 11 ⋯ A 1 n ⋮ ⋱ ⋮ A n 1 ⋯ A n n ) T = ( A 11 ⋯ A n 1 ⋮ ⋱ ⋮ A 1 n ⋯ A n n ) A^*=\begin{pmatrix}A_{11} & \cdots & A_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{n1} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}^T =\begin{pmatrix}A_{11} & \cdots & A_{n1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} A∗= A11⋮An1⋯⋱⋯A1n⋮Ann T= A11⋮A1n⋯⋱⋯An1⋮Ann
把伴随矩阵除于行列式就是矩阵A的逆矩阵了：
A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1}=\frac1{|A|}A^* A−1=∣A∣1A∗

python实现

这种计算逆矩阵的方法用Python很容易写出来：

     # 子式def minor(self, row, column):# 创建新矩阵n = len(self.__lines)array = [[0 for _ in range(n - 1)] for _ in range(n - 1)]# i 代表行 j代表列for i in range(0, n - 1):for j in range(0, n - 1):col = j if j < column else j + 1r = i if i < row else i + 1array[j][i] = self.__lines[col][r]return Matrix(array).chio()# 求代数余子式def cofactor(self, row, column):minor = self.minor(row, column)return minor if (row + column) % 2 == 0 else -minor# 用伴随矩阵求逆矩阵def inverse(self):det = self.chio()n = len(self.__lines)array = [[0 for _ in range(n)] for _ in range(n)]for i in range(0, n):for j in range(0, n):array[i][j] = self.cofactor(j, i) / detmatrix = Matrix(array)return Matrix(matrix.transpose())

测试数据：
( 1 1 1 1 2 1 1 1 − 1 2 1 1 3 2 1 2 ) ( − 1 1 0 0 − 3 2 1 0 1 1 0 − 1 4 − 4 − 1 1 ) = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 2 & 1 & 1\\ 3 & 2 & 1 & 2\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-1 & 1 & 0 & 0\\ -3 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & -1\\ 4 & -4 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} 12−13112211111112 −1−314121−4010−100−11 = 1000010000100001

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3.3 伴随矩阵法求逆矩阵

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逆矩阵定义

伴随矩阵

python实现

3.3 伴随矩阵法求逆矩阵相关推荐

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