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交叉熵目标函数更陡峭
Xavier initialization [1][4]
He initialization [2][3]
- He init 考虑ReLU函数
- He init 考虑Leaky ReLU函数
结束语
参考资料

交叉熵目标函数更陡峭

在论文[1]中给了一个图示，一定程度上说明了为什么Cross Entropy用的很多，效果很好。图中上面的曲面表示的是交叉熵代价函数，下面的曲面表示的是二次代价函数，W1和W2分别表示层与层之间的连接权值。

)

在1986年 Rumelhart 已经发现：logistic function 或者叫 conditional log-likelihood function: -log P（y|x) 的效果比 quadratic cost function（平方代价函数）的效果好很多的，原因在于 quadratic cost function（平方代价函数）在训练过程中会出现更多的 plateaus（平坦区域）。文章给出了一个两个参数下的图，图中采用的是具有单隐层的神经网络，激活函数使用的是 tanh 函数，对于输入信号进行随机初始化，可以看到二次代价函数具有更多的 plateaus （平坦区域）。

Xavier initialization [1][4]

早期的参数初始化方法普遍是将数据和参数初始化为标准高斯分布（均值0方差1），但随着神经网络深度的增加，这方法并不能解决梯度消失问题。

那么我们应该怎么通过初始化来缓解这个问题呢？
论文中首先给出了一个启发式的方法，想法是初始化值和神经元的输入个数有关：

We initialized the biases to be 0 and the weights Wij at each layer with the following commonly used heuristic, where U[−a, a] is the uniform distribution in the interval (−a, a) and n is the size of the previous layer (the number of columns of W)

W∼U[−1n,1n]Var(W)=13nW \sim U[-\frac{1}{\sqrt n},\frac{1}{\sqrt n}]\\ Var(W) = \frac{1}{3n}W∼U[−n1,n1]Var(W)=3n1

上面式子中，W∼W \simW∼表示其中的每一个元素WijW_{ij}Wij都是符合一个均匀分布的。其中n表示本层的输入size，也就是上一层的输出size。我们知道随机变量在[a,b] 间的均匀分布的方差为
Var=(b−a)212Var= \frac{(b-a)^2}{12}Var=12(b−a)2
所以得到权重参数的方差是1/3n。先记一下，后面分析会讲到。

为了便于研究，作者假设使用线性激活函数f(x)f(x)f(x)，且在零点导数f′(0)=1f'(0)=1f′(0)=1。实际上，作者研究的是参数的线性区域，可以认为是对任务的一个简化。

对于一层网络：
f(x)=∑inwixi+bf(\textbf x) = \sum_i^n w_ix_i + bf(x)=i∑nwixi+b
输出的方差：
Var(f(x))=∑inVar(wixi)Var(f(\textbf x)) = \sum_i^n Var(w_i x_i)Var(f(x))=i∑nVar(wixi)
其中每一项：
Var(wixi)=E[wi]2Var(xi)+E[xi]2Var(wi)+Var(wi)Var(xi)Var(w_i x_i) = E[w_i]^2Var(x_i) + E[x_i]^2Var(w_i)+Var(w_i)Var(x_i)Var(wixi)=E[wi]2Var(xi)+E[xi]2Var(wi)+Var(wi)Var(xi)

当我们假设输入和权重都是0均值时（目前有了BN之后，每一层的输入也较容易满足），即E[xi]=E[wi]=0E[x_i] = E[w_i] = 0E[xi]=E[wi]=0，上式可以简化为：

Var(wixi)=Var(wi)Var(xi)Var(w_i x_i) =Var(w_i)Var(x_i)Var(wixi)=Var(wi)Var(xi)

由于w和x独立同分布，那么输出的方差就是

Var(f(x))=nVar(wi)Var(xi)Var(f(\textbf x)) = n Var(w_i) Var(x_i)Var(f(x))=nVar(wi)Var(xi)

我们发现，输出的方差是和输入的方差是一个线性倍数关系。假设ziz^izi是第iii层的输入向量，sis^isi是第iii层激活函数的输入，fff表示激活函数

si=ziWi+bizi+1=f(si)si+1=zi+1Wi+1+bi+1\textbf s^i = \textbf z^i W^i + \textbf b^i \\ \textbf z^{i+1} = f(\textbf s^i)\\ \textbf s^{i+1} = \textbf z^{i+1} W^{i+1} + \textbf b^{i+1} si=ziWi+bizi+1=f(si)si+1=zi+1Wi+1+bi+1

可以得到：
对于一个多层的网络，某一层的方差可以用累积的形式表达：
Var[zi]=Var[x]∏i′=0i−1ni′Var[Wi′]Var[z^i] = Var[x] \prod_{i'=0}^{i-1}n_{i'} Var[W^{i'}] Var[zi]=Var[x]i′=0∏i−1ni′Var[Wi′]

求反向我们可以得到（假设f′(ski)≈1f'(s_k^i) \approx 1f′(ski)≈1，其中Cost表示Loss）：
∂Cost∂ski=f′(ski)Wk,⋅i+1∂Cost∂si+1∂Cost∂wl,ki=zli∂Cost∂ski\frac{\partial Cost}{\partial s_k^i} = f'(s_k^i) W_{k,\cdot}^{i+1} \frac{\partial Cost}{\partial s^{i+1}} \\ \frac{\partial Cost}{\partial w_{l,k}^i} = z_l^i \frac{\partial Cost}{\partial s_k^i}∂ski∂Cost=f′(ski)Wk,⋅i+1∂si+1∂Cost∂wl,ki∂Cost=zli∂ski∂Cost

其中Var[Wi′]Var[W^{i'}]Var[Wi′]表示第i′i'i′层的共享权重的方差，对于ddd层的网络（大饼博士注：下面第一个式子的变量的layer号，符号上和上面求∂Cost∂ski\frac{\partial Cost}{\partial s_k^i}∂ski∂Cost的式子，有一点歧义难看懂。主要上面是正向去写，在同一个层里面SiS^iSi和Wi+1W^{i+1}Wi+1是一对。而下面第一个式子，理解成同一个层里面输入以及参数都是对应的i′i'i′，通过堆叠ddd层，得到最初的输入sis^isi的梯度的方差）
Var[∂Cost∂si]=Var[∂Cost∂sd]∏i′=idni′+1Var[Wi′]Var[∂Cost∂wi]=∏i′=0i−1ni′Var[Wi′]∏i′=id−1ni′+1Var[Wi′]×Var[x]Var[∂Cost∂sd]Var[\frac{\partial Cost}{\partial s^i}]=Var[\frac{\partial Cost}{\partial s^d}] \prod_{i'=i}^{d}n_{i'+1} Var[W^{i'}] \\ Var[\frac{\partial Cost}{\partial w^i}]= \prod_{i'=0}^{i-1}n_{i'} Var[W^{i'}] \prod_{i'=i}^{d-1}n_{i'+1} Var[W^{i'}] \times Var[x] Var[\frac{\partial Cost}{\partial s^d}]Var[∂si∂Cost]=Var[∂sd∂Cost]i′=i∏dni′+1Var[Wi′]Var[∂wi∂Cost]=i′=0∏i−1ni′Var[Wi′]i′=i∏d−1ni′+1Var[Wi′]×Var[x]Var[∂sd∂Cost]

如果我们希望，神经网络在前向计算的时候，输入输出的方差都是一致的，即∀(i,i′),Var[zi]=Var[zi′]\forall (i,i'), Var[z^i] = Var[z^{i'}]∀(i,i′),Var[zi]=Var[zi′]，我们需要满足：

∀i,niVar[Wi]=1\forall i, \quad n_i Var[W^i] = 1∀i,niVar[Wi]=1

类似的，如果我们希望反向计算的输入输出方差也是一致的，∀(i,i′),Var[∂Cost∂si]=Var[∂Cost∂si′]\forall (i,i'), Var[\frac{\partial Cost}{\partial s^i}] = Var[\frac{\partial Cost}{\partial s^{i'}}]∀(i,i′),Var[∂si∂Cost]=Var[∂si′∂Cost]，需要满足：

∀i,ni+1Var[Wi]=1\forall i, \quad n_{i+1} Var[W^i] = 1∀i,ni+1Var[Wi]=1

一个层的输入输出一般不相同，作为折中

∀i,Var[Wi]=2ni+ni+1\forall i, \quad Var[W^i] = \frac{2}{n_i + n_{i+1}}∀i,Var[Wi]=ni+ni+12

这个就是Xavier初始化算法，认为神经网络每一层的参数的方差需要满足的方差（均值=0）。（注：这里并没有假设是符合什么分布的，只是要求方差是这样，所以理论上我们可以采用任意分布，只要方差等于上面的公式即可）。

常见的，我们可以用高斯分布，或者均匀分布来生成随机参数（对于Xavier初始化方式，例如pytorch提供了uniform和normal两种：）。

如果是采用均匀分布，根据前面讲过的，随机变量在[a,b] 间的均匀分布的方差为Var=(b−a)2/12Var= {(b-a)^2}/{12}Var=(b−a)2/12，那么我们只要用下面分布来采样，就可以得到上面的方差。这个公式也是Xavier论文[1]中给出的建议。

W∼U[−6nj+nj+1,6nj+nj+1]W \sim U[-\frac{\sqrt 6}{\sqrt {n_j + n_{j+1}}},\frac{\sqrt 6}{\sqrt {n_j + n_{j+1}}}]W∼U[−nj+nj+16,nj+nj+16]

如果是采用高斯分布，那么直接就：[6]

W∼N(0,2ni+ni+1)W \sim N(0, { \frac{2}{n_i + n_{i+1}}})W∼N(0,ni+ni+12)

补充一句,caffe的Xavier实现有三种选择[7]：

He initialization [2][3]

前面Xavier方法只考虑了线性激活函数，而现在的神经网络（特别是CNN网络）采用的主要是ReLU和Leaky ReLU函数，He初始化方法就是来分析采用ReLU和Leaky ReLU激活函数下，如果我们希望每一层的输入输出方差不变，我们应该如何初始化权重参数，方法上和前一节基本一致。

对于一个卷积层或者全连接层，其表达式为

yl=Wlxl+bl.y_l = W_l x_l + b_l.yl=Wlxl+bl.

若WlW_lWl、blb_lbl采样自0均值高斯分布，用nln_lnl表示第lll层xlx_lxl的维数，在卷积层，有nl=k2cn_l=k^2cnl=k2c，kkk为卷积核的边长，ccc为channel数，注意到yly_lyl是WlW_lWl中元素与xlx_lxl中对应元素的乘积的和，则上式各变量的方差关系可以表示为：

Var[yl]=nlVar[Wlxl]=nlVar[Wl]E[xl2].Var[y_l] = n_l Var[W_l x_l]=n_l Var[W_l]E[x_l^2].Var[yl]=nlVar[Wlxl]=nlVar[Wl]E[xl2].

这里的xlx_lxl项前并不是其方差，而是E[xl2]E[x^2_l]E[xl2]，因为xlx_lxl通常并不具备0均值，例如ReLU激活函数得到的结果，xlx_lxl均为正值。注意到由于WlW_lWl是0均值的，所以无论xlx_lxl均值为多少，均有

E[yl]=E[Wlxl]=0.E[y_l]=E[W_l x_l]=0.E[yl]=E[Wlxl]=0.

He init 考虑ReLU函数

通过ReLU激活函数：xl=max(0,yl−1)x_l=max(0,y_{l−1})xl=max(0,yl−1)，仅正半轴有值，我们假设激活之前的值正负各一半，总体是对称的，可以得到：
E[xl2]=12Var[yl−1].E[x_l^2] = \frac{1}{2} Var[y_{l-1}].E[xl2]=21Var[yl−1].

因此（如果本文从上面看下来的话，看到这个公式就很熟悉了）：
Var[yl]=12nlVar[Wl]Var[yl−1].Var[y_l] = \frac{1}{2} n_l Var[W_l]Var[y_{l-1}].Var[yl]=21nlVar[Wl]Var[yl−1].

我们希望每一层的激活前值（卷积的结果，没有过激活函数）的方差一致，Var[yl]=Var[yl−1]Var[y_l]=Var[y_{l-1}]Var[yl]=Var[yl−1]，这个是和Xavier不一样的地方，这样就可以不考虑激活函数了。那么：

12nlVar[Wl]=1.\frac{1}{2} n_lVar[W_l] =1.21nlVar[Wl]=1.

如果是用高斯分布采样，W∼N(0,2nl)W \sim N(0,\frac{2}{n_l})W∼N(0,nl2)
如果是用均匀分布，那么：W∼U[−6/nl,6/nl]W \sim U[-\sqrt{6/n_l},\sqrt{6/n_l}]W∼U[−6/nl,6/nl]

He init 考虑Leaky ReLU函数

Leaky ReLU激活函数和导函数分别为

所以：
E[xl2]=12(1+α2)Var[yl].E[x_l^2] = \frac{1}{2}(1+\alpha^2) Var[y_l].E[xl2]=21(1+α2)Var[yl].

类似上面的推导，可以得到，

12(1+α2)nlVar[Wl]=1.\frac{1}{2}(1+\alpha^2) n_lVar[W_l] =1.21(1+α2)nlVar[Wl]=1.

如果是用高斯分布采样，W∼N(0,2(1+α2)nl)W \sim N(0,\frac{2}{(1+\alpha^2) n_l})W∼N(0,(1+α2)nl2)
如果是用均匀分布，那么：W∼U[−6/(1+α2)nl,6/(1+α2)nl]W \sim U[-\sqrt{6/(1+\alpha^2) n_l},\sqrt{6/(1+\alpha^2) n_l}]W∼U[−6/(1+α2)nl,6/(1+α2)nl]

结束语

好了，到这里本篇就讲完了，介绍了Xavier与He intit的初始化方法，是非常常见的方法。后来还有很多工作来优化初始化，比如进一步考虑resnet网络结构时，有文章引入了Mean field，还有fixup initialization等方法。这些以后有机会再写了。最后说一句BN，因为可以强制要求每一层的数据符合0均值1方差，所以效果上和本文讨论的方法效果很类似。使得前向的数据会相对稳定。但是BN似乎并没有考虑反向梯度的稳定性，这一点目前更多是让resnet中的identity跳边来完成的，有这个identity跳边情况下，梯度至少在在跳边这一路上，可以identity透传，梯度就不容易消失。但是似乎梯度爆炸没有避免，什么情况下会爆炸呢？回看我们前面的分析，比如Xavier中，我们要求ni+1Var[Wi]=1\quad n_{i+1} Var[W^i] = 1ni+1Var[Wi]=1，反向就会稳定，如果>1，那么很显然，只要层数深，梯度就指数爆炸了，这样训练也会很难训。因此训练过程中的数据和梯度的稳定性是很重要的。

参考资料

[1] Understanding the difficulty of training deep feedforward neural networks
[2] Delving Deep into Rectifiers: Surpassing Human-Level Performance on ImageNet Classification
[3] https://blog.csdn.net/happynear/article/details/45440811
[4] https://blog.csdn.net/kangroger/article/details/61414426
[5] https://blog.csdn.net/qq_34784753/article/details/78668884
[6] https://blog.csdn.net/dss_dssssd/article/details/83959474
[7] https://blog.csdn.net/weixin_34221773/article/details/86085462
[8] https://www.cnblogs.com/itmorn/p/11132494.html#ct5

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