文章目录

八位“Booth二位乘算法”乘法器
- 原理
- - 补码乘法器
  - Booth一位乘
  - Booth二位乘
- 设计思路
- - 减法变加法
  - vivado特性
- 设计文件
- - 综合电路
- 测试文件
- - 仿真波形

八位“Booth二位乘算法”乘法器

原理

补码乘法器

之前介绍了几篇无符号乘法器或加法器的写法，当然，稍作修改也就可以改成符合有符号数的乘法器或加法器。

但是呢，我们之前写的乘法器或加法器，其实都是默认是正数来写的，而且是以正数的原码来写的，所以上面说稍作修改也就可以成为有符号数的乘法器或加法器，其实就是对我们以为的原码进行取补码，再进行乘法或加法的运算。

随着计算机硬件部件的升级，处理器技术的发展，现代处理器中的定点数(小数点位置固定)都是按照补码形式来存储的。

所以在之前写的无符号加法器中，只要利用：
X补+Y补=[X+Y]补X_补+Y_补=[X+Y]_补 X补+Y补=[X+Y]补
就可以轻易将原先的加法器改写成有符号加法器——只要对结果再取一次补码即可。

但是乘法器呢？稍作学习可以知道，补码的乘法是这样的：
X∗Y补=[X∗Y]补X*Y_补=[X*Y]_补 X∗Y补=[X∗Y]补
我们再考虑一下之前所说的：在现代处理器中的定点数都是按照补码形式来存储的。

所以我们要想得到两个数的乘法结果，首先应该知道被乘数的原码和补码，再对最终结果取补码，即可得到我们期望的乘法结果。

那么如何求“X*Y补”呢？在处理器中，一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0，也就是表示一个数的补码，那么它的原码是多少呢？

补码的计算方法，除了“首位不变，余位取反再加一”的方式，还有一种就是“用溢出条件来减这个数”，在我们之前第一节课说二进制的时候，以钟表为例——“十二进制”，得到结论——“4是-8的补码”。

我们用第二种取补码的方式：-8的补码=12-8=4（这里没有考虑符号问题，只是求了补码的值）

所以考虑一下符号的话，-8的补码=8-12=-4

同理：

十进制下，-4的补码=4-10=-6

二进制下，-101补码=1101补码=101-1000=-011=1011

这样解决求补码的方式在接下来的计算方面就更方便了，至于正数嘛，不变就好了。

回到上面的问题，一个二进制数Y补形如y7y6y5y4y3y2y1y0，它的原码是多少呢？根据：
[X补]补=X[X_补]_补=X [X补]补=X
Y补的原码Y应该为：
Y=(y7∗27+y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)−1∗28Y=(y_7*2^7+y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)-1*2^8 Y=(y7∗27+y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)−1∗28
稍微化简一下：
Y=−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)Y=-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0) Y=−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)
所以我们如果想求X*Y，可以先求其补码：
[X∗Y]补=[X∗(−y7∗27)+X∗(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)]补[X*Y]_补=[X*(-y_7*2^7)+X*(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)]_补 [X∗Y]补=[X∗(−y7∗27)+X∗(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20)]补
根据补码加法“X补+Y补=[X+Y]补”再稍微化简一下：
[X∗Y]补=−y7∗[X∗27]补+y6∗[X∗26]补+y5∗[X∗25]补+……+y0∗[X∗20]补[X*Y]_补=-y_7*[X*2^7]_补+y_6*[X*2^6]_补+y_5*[X*2^5]_补+……+y_0*[X*2^0]_补 [X∗Y]补=−y7∗[X∗27]补+y6∗[X∗26]补+y5∗[X∗25]补+……+y0∗[X∗20]补
再引入一个定理：
[X∗2n]补=X补∗2n[X*2^n]_补=X_补*2^n [X∗2n]补=X补∗2n
所以上式又可以换一种写法：
[X∗Y]补=X补∗(−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20))=Y∗X补[X*Y]_补=X_补*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0))=Y*X_补 [X∗Y]补=X补∗(−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20))=Y∗X补
哦这不就是上面介绍过的补码乘法嘛：
[X∗Y]补=Y∗X补=X∗Y补[X*Y]_补=Y*X_补=X*Y_补 [X∗Y]补=Y∗X补=X∗Y补
如果令一个数Y1补=y6y6y5y4y3y2y1y0，去掉了首位，那么上式是不是可以理解为：
[X∗Y]补=X补∗Y1补−y7∗X补∗27[X*Y]_补=X_补*Y1_补-y_7*X_补*2^7 [X∗Y]补=X补∗Y1补−y7∗X补∗27
其中的Y1补不就刚好是Y补的后7位嘛？也就是说一个乘法可以分为两部分理解：首位的乘法和其他位的乘法。首位的乘法产生的部分积符号是减，其他位的部分积符号为加。

经过上面的推导大家应该会对补码乘法的原理有了一定的概念，我们来把它写成竖式的形式，以(-6)x(-7)为例，原码乘应该是1110x1111，在计算机中是以补码的形式存储，所以补码乘是1010x1001，代入公式，令X补=1010，Y补=1001，其运算过程如下：

这里可能有一些迷惑的是：为什么第一步运算得到的结果是11111010？为什么要在前面填充1111？

这也就是所谓的符号填充，我们之前的设计中都没有涉及到符号位，所以默认都是填充0，现在遇到了负数问题，也就需要填充符号了，但是这样看起来是不是一点都觉得很奇怪？如果没办法理解的话，我建议你可以尝试对它求补码，看看是不是可以保持首位符号位不变，余位取反加一。惊叹于设计师的机智。

补码乘法器的原理讲明白了，具体电路实现的话，大家可以尝试一下，本节重点不在于此。

Booth一位乘

在上面已经讨论了补码乘法器的原理，那么什么是Booth乘法器呢？Booth乘法器是由英国的Booth夫妇提出的，并没有什么特殊含义，所以我们直接快进到内容。

经过补码乘法器的推导：
[X∗Y]补=X补∗(−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20))[X*Y]_补=X_补*(-y_7*2^7+(y_6*2^6+y_5*2^5+……+y_0*2^0)) [X∗Y]补=X补∗(−y7∗27+(y6∗26+y5∗25+……+y0∗20))
参考中学数学：
2n=2∗2n−12^n=2*2^{n-1} 2n=2∗2n−1
其核心计算思想是括号里的形式，也就是**Y补的原码Y，**所以我们对括号里的内容再进行分解合并，也就是对Y分解合并。先分解：
Y=−y7∗27+((2−1)y6∗26+(2−1)y5∗25+……+(2−1)y0∗20)Y=-y_7*2^7+((2-1)y_6*2^6+(2-1)y_5*2^5+……+(2-1)y_0*2^0) Y=−y7∗27+((2−1)y6∗26+(2−1)y5∗25+……+(2−1)y0∗20)
这样应该挺直观了吧：
Y=−y7∗27+(y6∗27−y6∗26)+(y5∗26−y5∗25)+……+(y0∗21−y0∗20)Y=-y_7*2^7+(y_6*2^7-y_6*2^6)+(y_5*2^6-y_5*2^5)+……+(y_0*2^1-y_0*2^0) Y=−y7∗27+(y6∗27−y6∗26)+(y5∗26−y5∗25)+……+(y0∗21−y0∗20)
再合并：
Y=(y6−y7)∗27+(y5−y6)∗26+(y4−y5)∗25+……+(0−y0)∗20Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(0-y_0)*2^0 Y=(y6−y7)∗27+(y5−y6)∗26+(y4−y5)∗25+……+(0−y0)∗20
最后有个0-y0的项，看起来有点不合群，所以令：
y−1=0y_{-1}=0 y−1=0
代入上式，即：
Y=(y6−y7)∗27+(y5−y6)∗26+(y4−y5)∗25+……+(y−1−y0)∗20Y=(y_6-y_7)*2^7+(y_5-y_6)*2^6+(y_4-y_5)*2^5+……+(y_{-1}-y_0)*2^0 Y=(y6−y7)∗27+(y5−y6)∗26+(y4−y5)∗25+……+(y−1−y0)∗20
这也就是Booth一位乘算法的原理。其优点就在于不用再像补码乘法器那样，不需要专门对最后一次部分积采用补码减法。

根据上式，还可以列出Booth一位乘的规则：

y(i-1)	y(i)	y(i-1) - y(i)	操作
0	0	0	加0
0	1	-1	减`X补`
1	0	1	加`X补`
1	1	0	加0

再举个例子来计算，仍以(-6)x(-7)为例，补码乘是1010x1001，列出竖式：

可是这里为什么还是有减法呢？和常规的补码乘法器相比，简直是老和尚抹洗头膏，大可不必。甚至由于每次判断两位数字，增大了电路的复杂度，那么为什么booth乘法器如此好用呢？

其实booth一位乘算法并不常用，但是booth二位乘就不一样了，通过增加一定的空间复杂度，将运算周期减为一半！

Booth二位乘

还是根据补码乘法器，我们将Y的表达式再进行变换——先分解：
Y=−2∗y7∗26+y6∗26+(y5∗26−2∗y5∗24)+……+y0∗20+y−1∗20Y=-2*y_7*2^6+y_6*2^6+(y_5*2^6-2*y_5*2^4)+……+y_0*2^0+y_{-1}*2^0 Y=−2∗y7∗26+y6∗26+(y5∗26−2∗y5∗24)+……+y0∗20+y−1∗20
再整合：
Y=(y5+y6−2∗y7）∗26+（y3+y4−2∗y5）∗24)+……+(y−1+y0−2∗y1)∗20Y=(y_5+y_6-2*y_7）*2^6+（y_3+y_4-2*y_5）*2^4)+……+(y_{-1}+y_0-2*y_1)*2^0 Y=(y5+y6−2∗y7）∗26+（y3+y4−2∗y5）∗24)+……+(y−1+y0−2∗y1)∗20
好了Booth二位乘算法也完事了，类比于Booth一位乘，我们也可以列出Booth二位乘的规则：

y(i-1)	y(i)	y(i+1)	y(i-1) + y(i) - 2*y(i+1)	操作
0	0	0	0	加`0`
0	1	0	1	加`X补`
1	0	0	1	加`X补`
1	1	0	2	加`2*X补`，即`X补<<1`
0	0	1	-2	减`2*X补`，即`X补<<1`
0	1	1	-1	减`X补`
1	0	1	-1	减`X补`
1	1	1	0	加`0`

再举个例子来计算，仍以(-6)x(-7)为例，补码乘是1010x1001，列出竖式：

运算周期减半了！

好了，那Booth乘法器有没有三位乘呢？可以有，但是三位的时候就会出现加3*X补，2*X补可以通过左移一位得到，而3*X补就有点麻烦了，所以不再介绍，至于四位乘、八位乘，想挑战的同学可以挑战一下。

设计思路

减法变加法

首先我们来解决一个问题，如何把减法消除？我们知道，**减去一个数，等于加上这个数的相反数；减去一个数，也等于加上这个数的补码。**这个过程中的减数也默认是正数，因为正数的补码还是正数，只有正数前面加一个符号再去补码才有用。那么如上面竖式所写，减去一个负补码，就应该等于加上“这个负补码的补码的相反数”，比如上面的补码乘法器竖式，就应该变换成如下形式：

再说明一下吧：减11010，就相当于加11010的补码的相反数，即加10110的相反数，即00110。

所以booth一位乘算法的示例应该变成这样：

booth二位乘算法的示例应该变成这样：

vivado特性

考虑到上述减法变加法的操作后，容易总结出：减法变加法，其实就是对补码的符号位取反，也就是对减数每一位取反后再加一。

再回读一边上述的理论部分，可能你会发现，在乘法运算中，只用到了补码和**“负补码”两种概念的数字。而在vivado中（相当于在处理器中），数字默认是以补码形式存储的，即输入的乘数默认就是补码形式**，这样只需要再求出**“负补码”**即可。设X[3:0]表示一个乘数，默认是以补码形式存储，则其“负补码”：
X负补码=!X+1X_{负补码}=!X + 1 X负补码=!X+1
至于其原码：
X原码=(X[3],!X[2:0])+1X_{原码}=(X[3],!X[2:0]) + 1 X原码=(X[3],!X[2:0])+1
其实根本用不着。

有了以上知识储备，我们就可以写代码啦~

设计文件

//由于实力不够，没能设计成改一个数字变一个规模的程序
`define size 8
module mul_booth_signed(input wire [`size - 1 : 0] mul1,mul2,input clk,input wire [2:0] clk_cnt,//运算节拍，相当于状态机了，8位的话每次运算有4个拍output wire [2*`size - 1 : 0] res);//由于传值默认就是补码，所以只需要再计算“负补码”即可wire [`size - 1 : 0] bmul1,bmul2;assign bmul1 = (~mul1 + 1'b1) ;assign bmul2 = (~mul2 + 1'b1) ;//其实乘数2的负补码也没用到。//其实可以把状态机的开始和结束状态都写出来，我懒得写了，同学们可以尝试一下啊~parameter   zeroone       =   3'b00,twothree      =   3'b001,fourfive      =   3'b010,sixseven      =   3'b011;//y(i-1),y(i),y(i+1)三个数的判断寄存器，由于有多种情况，也可以看成状态机（也可以改写成状态机形式，大家自己试试吧）reg [2:0] temp;//部分积reg [2*`size-1 : 0] A;//每个节拍下把相应位置的数据传给temp寄存器always @ (posedge clk) begincase(clk_cnt)zeroone  : temp <= {mul2[1:0],1'b0};twothree : temp <= mul2[3:1];fourfive : temp <= mul2[5:3];sixseven : temp <= mul2[7:5];default : temp <= 0;endcaseendalways @(posedge clk) beginif (clk_cnt == 3'b100) begin//如果节拍到4就让部分积归0，此时已经完成一次计算了A <= 0;end else case (temp)3'b000,3'b111 :   begin//这些是从高位到低位的判断，别看反了噢A <= A + 0;end3'b001,3'b010 : begin//加法操作使用补码即可，倍数利用左移解决A <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1));end3'b011 : beginA <= A + ({{8{mul1[`size-1]}},mul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);end3'b100: begin//减法操作利用“负补码”改成加法操作，倍数利用左移解决A <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1) + 1);end3'b101,3'b110 : beginA <= A + ({{8{bmul1[`size-1]}},bmul1} << 2*(clk_cnt-1));enddefault: A <= 0;endcaseend//当节拍到4的时候写入结果寄存器。assign res = (clk_cnt == 3'b100) ? A : 0;
endmodule

这是一个八位Booth二位乘算法的乘法器，至于Booth一位和Booth四位的乘法器，大家各自尝试就好。

此外在这个文件当中，我用到了clk_cnt这个寄存器，大家是不是以为我会多用一个模块用来产生clk_cnt的波形？

身为一个懒人，我直接在测试文件里写了吼吼吼~

综合电路

37个元件，36个IO口，318根线

测试文件

`timescale 1ns / 1ps
module mul_tb();reg [7:0] mul1,mul2;wire [15:0] res;reg clk;wire clk_en;reg [2:0] clk_cnt;initial beginmul1 <= -8'd7;mul2 <= -8'd3;clk <= 0;clk_cnt <= 3'b0;endalways # 10 clk = ~clk;//clk_cnt发生器，懒人版always @(posedge clk) beginclk_cnt <= clk_cnt + 1'b1;if (clk_cnt == 3'b100)clk_cnt <= 3'b00;end//每次运算结束后，让乘数变化，以便产生不同的数据用以观察assign clk_en = (clk_cnt == 3'b100) ? 1'b1 : 1'b0;always @ (posedge clk_en) beginmul2 <= mul2 + 1'b1;endmul_booth_signed try(.mul1(mul1),.mul2(mul2),.res(res),.clk(clk),.clk_cnt(clk_cnt));
endmodule

仿真波形

将其改成有符号十进制数形式显示，可以验证电路设计正确。