简介

初步了解了函数的概念和性质，接下来就是了解一些特殊情况的函数（经典的函数）。这些经典的函数几乎都是一大类函数。这也体现了函数种类的丰富多样。
内容：

初等函数
反函数
复合函数
分段函数

初等函数

要知道什么初等函数，就要知道什么是基本初等函数。

基本初等函数x

基本初等函数包括：常数函数，幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数

常数函数

f(x)=C,C为常数f(x)= C,C为常数f(x)=C,C为常数，那么f(x)f(x)f(x)就是常数函数。
它的图像为一条平行于x轴的直线。
这是最简单的函数，也可以说是幂函数的特殊形式。

幂函数

f(x)=xn,n∈Zf(x)=x^n,n\in Zf(x)=xn,n∈Z.这样的函数叫做幂函数。
要注意的是，n≠0。
n=0时函数为常数函数f(x)=1f(x)=1f(x)=1

根据nnn的取值，图像也不同。
但n为偶数时，是偶函数，关于y轴对称；
n为奇数时，为奇函数，关于原点对称。

n=1n=1n=1时，图像为一条倾斜的直线。
n=2n=2n=2时，图像为一条抛物线。
n=3n=3n=3时，图像类似于平放的S。

函数图像可以用在线画图工具去绘画，这里不一一放图。

指数函数

f(x)=ax,a>0且≠1f(x)=a^x,a>0且≠1f(x)=ax,a>0且=1，这类函数叫做指数函数。

指数函数恒过两点：(0,1),(1,a)(0,1),(1,a)(0,1),(1,a)

指数函数单调性由aaa决定，a>1a>1a>1则单调递增，否则单调递减。

对数函数

对数函数与指数函数互为反函数。

f(x)=log⁡ax，a>0且≠1f(x)=\log_ax，a>0且≠1f(x)=logax，a>0且=1，这类函数叫做对数函数。
并且af（x）=log⁡axa^{f（x）}=\log_axaf（x）=logax。

对数函数主要涉及对数运算，详情百度。
这里给出几个常用的公式：
log⁡axn=nlog⁡ax\log_ax^n=n\log_axlogaxn=nlogax
alog⁡ax=xa^{\log_ax}=xalogax=x
log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}logab=logcalogcb
有时候第一第二个公式会联合起来用：
xn=enln⁡xx^n=e^{n\ln x}xn=enlnx

三角函数

三角函数根据单位圆定义而来。表达式为独有的标识符号。
y=sin⁡x,cos⁡x,tan⁡x,sec⁡x,csc⁡x,cot⁡xy=\sin x,\cos x,\tan x,\sec x,\csc x,\cot xy=sinx,cosx,tanx,secx,cscx,cotx六种。

对于一个直角边为a,ba,ba,b，斜边为ccc的直角三角形，规定斜边与边长为b的直角边夹角为xxx
则有sin⁡x=ax,cos⁡x=bx,tan⁡x=ab\sin x=\frac{a}{x},\cos x=\frac{b}{x},\tan x=\frac{a}{b}sinx=xa,cosx=xb,tanx=ba

另外关于三角函数还有许多恒等式。
这里简单总结了一些常用公式为三角恒等式表，以便查询。

反三角函数

反三角函数是三角函数的反函数。只需要在对应函数名前加上arc即可表示。
如反正弦函数：y=arcsin⁡xy=arc\sin xy=arcsinx

什么是初等函数？

介绍完了最基本的基本初等函数，接下来介绍什么是初等函数。

初等函数是：基本初等函数经过有限次四则运算和复合运算产生的函数。

我们通常遇到的函数都是初等函数，虽然初等函数可能具有很复杂的表达式，但是仍然能够拆解为基本初等函数的组合形式。

初等函数是经过有限次的有理运算以及函数复合产生的函数。

常见的初等函数：

双曲函数:如双曲正弦函数y=sh⁡x=ex−x−x2，定义域为Ry=\sh x=\frac{e^x-x^{-x}}{2}，定义域为Ry=shx=2ex−x−x，定义域为R
反双曲函数：在双曲函数名前面加ar即可表示对应的反双曲函数。

反函数

反函数简单讲就是自变量因变量位置对调的函数。
如对数函数和指数函数就是一对反函数。

更精确的定义：
如果fff是单射，那么y=f(x)y=f(x)y=f(x)的反函数为x=f−1(y)x=f^{-1}(y)x=f−1(y)，按照习惯一般写成y=f−1(x)y=f^{-1}(x)y=f−1(x)。
单射确保了反函数的存在，你还记得函数的三要素以及单射的定义吗？

反函数的图像关于y=xy=xy=x对称。

复合函数

复合函数在上一节已经提到。
若y=f(u)u=α(x),y=f(α(x))y=f(u)\\u=\alpha(x),y=f(\alpha(x))y=f(u)u=α(x),y=f(α(x))就是复合函数。

分段函数

在定义域不同分段内，函数有着不同的解析式，这时候的函数叫做分段函数。
如：y={x2+1,x>0,x2−1,x≤0y=\begin{cases}x^2+1,x>0,\\x^2-1,x≤0\end{cases}y={x2+1,x>0,x2−1,x≤0

有一些常用的特殊函数：

绝对值函数：y=∣f(x)∣={f(x),f(x)≥0−f(x),x＜0|f(x)|=\begin{cases}f(x),f(x)≥0\\-f(x),x＜0\end{cases}∣f(x)∣={f(x),f(x)≥0−f(x),x＜0，其中f(x)f(x)f(x)是含有x的表达式。
取整函数：y=[f(x)]y=[f(x)]y=[f(x)]，取整函数取得的结果为整数，即当f(x)存在小数点时，取小数点前面的数字。
最值函数：y=max{f(x),f(x)}max\{f(x),f(x)\}max{f(x),f(x)},结果取两者之间较大的那个。
y=min{f(x),g(x)}min\{f(x),g(x)\}min{f(x),g(x)}，结果取两者之间较小的那个

除了这些，还有如符号函数之类的分段函数，就不再多说。

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