美团2021校招笔试题最优二叉树II

2024-05-13 16:56:09

题目：

小团有一个由N个节点组成的二叉树，每个节点有一个权值。定义二叉树每条边的开销为其两端节点权值的乘积，二叉树的总开销即每条边的开销之和。小团按照二叉树的中序遍历依次记录下每个节点的权值，即他记录下了N个数，第i个数表示位于中序遍历第i个位置的节点的权值。之后由于某种原因，小团遗忘了二叉树的具体结构。在所有可能的二叉树中，总开销最小的二叉树被称为最优二叉树。现在，小团请小美求出最优二叉树的总开销。
1<=N<=300

思路：

首先想到了搜索，但是常规的搜索时间复杂度为O(N!)，最多(300!)次，肯定超时。然后准备用记忆化搜索，也就是将搜索中的中间变量记录下来，减小搜索的次数。

记忆化搜索的代码

# 记忆化搜索，记录过程变量
N = int(input())
tree = list(map(int, input().split()))
tree.insert(0, 0)
m = [[[-1]*(N+1) for i in range(N+1)] for j in range(N+1)]# m[l][r][p] 表示左边到l，右边到r，根为p的权重
ans = float('inf')def dfs(tree, l, r, p): # 搜索当父亲为p的时候，从l到r的权重最小值if l>r:return 0if m[l][r][p]!=-1:return m[l][r][p]# 以i为根，开始搜索res = float('inf')for i in range(l,r+1):left = dfs(tree, l, i-1, i)right = dfs(tree, i+1, r, i)res = min(res, left+right+tree[p]*tree[i])m[l][r][p]=resreturn res
print(dfs(tree, 1, N, 0))

超时。

查了网上的题解后，准备用树状dp来做。时间复杂度O(N^3)
令ldp[a][b]表示以b+1位置为根节点，左子树的权重和最小值；rdp[a][b]表示以a-1位置为根节点，右子树的权重和最小值：
那么递推公式为:
ldp[a][b]=min(ldp[a][i-1]+tree[b+1]*tree[i]+rdp[i+1][b])
rdp[a][b]=min(ldp[a][i-1]+tree[a-1]*tree[i]+rdp[i+1][b])
初始化：
如果令tree[0]=0,tree[1到N]存储树的结构，那么答案为rdp[1][N]
令ldp,rdp初始化为0，
ldp[1][1]=tree[1]*tree[2]=min(ldp[a][i-1]+tree[b+1]*tree[i]+rdp[i+1][b])
可以直接根据递推公式计算

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