*皮亚诺关于公理4的一段语录解析皮亚诺读后之六

皮亚诺关于公理4的一段语录解析皮亚诺读后之六

科学院在增补院士，如今的科学研究似乎与权势和利益总脱不开干系。仿佛就没有不为利益而进行的研究，也没有超脱权势不受权势影响的科学。有这样一个几乎成为常识的观念，任何人成为院士，自然都有可能。不过，继续皮亚诺那套东西时，我突然想到很早看过的一篇数学随笔：应用数学是坏数学。重又翻翻，发现作者似乎给纯粹数学家一点鼓舞，他们把自己的专业看作是艺术，最高的赞扬是漂亮，不在乎利益，也不在乎权势。而谈到应用数学家时，作者认为，他们最好的赞赏则是“强有力”，最在乎的自然是得到应用。这个上世纪80年代的说法，还真有点意思。（参见北京大学出版社《数学与文化》第156页）
皮亚诺的东西显然要放在纯粹数学的范围之内，冲着一份对艺术的憧憬，不在乎那东西是“有用”还是“强有力”，牛年后的算术理论阅读，就接续年前的，继续皮亚诺算术那剩下的公理吧。
算术图片

标题一、皮亚诺公理4和他关于公理4的一段摘录

先列出这个公理4的表达式，使用皮亚诺的表达方式，这个公理4表示如下：

PA4 (a∈N) 推出((~(a’=1))

或者用更容易理解的公式表述：(a∈N) 推出 (a’≠1)

用自然语言来表述，可以简单表述为：

数字1不是任何自然数的后继。

由三个基本概念自然数系列N，后继’，和基元素1，再加上前三个公理，可以生成自然数系列，应该可以开始引出算术的基本运算了。那么，为什么还需要公理4和公理5呢？我们先来理解这个公理4存在的必要性。
皮亚诺1889年给出他的算术公理化系统，1891年他为这几个公理的产生，又发表过一篇论文《sul concetto di numero》，大体相当于对他的算术系统做元数学考察的文章。在论述到公理4的时候，他有这么一段话。

为了搞清楚这个公理4甚至不是公理1，2，3，和5的后承，让我们来考虑一下以下等式的根，即等式xn = 1的根；让我们把这个首根（first root），或者1的根称之为有最小参变量（2π/n）的一个虚拟根；再让我们把一个根a的后继称作为把首根与a相乘的乘积；条件（公理）1，2，3，5被验证了，但是那个公理4并没有得到验证，那个首根也是第n个后继。同样的实例也可以用名为“小时”hours的普通形式来给出；时钟上的一点钟是12点钟的后继。
（转摘自Gillies《弗雷格戴德金皮亚诺论算术基础》第70页）

这段摘录是理解公理4的经典描述，值得多加琢磨。
为什么需要这个公理4？皮亚诺用那个等式的实例简要说明了，除了公理4之外的其它公理都在这个例证中得到验证，
皮亚诺先指出，这个公理4是独立的，它从其它公理导不出来。为什么导不出来呢？后面的论述都是在说明这种独立性。不过，这个独立性的论述，在我看来，与其说是在讨论独立性，不如说是在论证，这个公理4对于它的公理化算术系统的必要性。
这个导不出应该比较直观。
公理1说，1是自然数，还没有提到后继，所以一点导出公理4的意味都没有。
公理2说，任何数的后继是自然数。提到后继了，却也与公理4无关，公理4否认1是一个后继，自然不能由公理2导出。
公理3说，两个自然数相等，其后继也相等。更与公理4无关，它没有涉及到两个自然数和两个后继之间的关系。
最后公理5，数学归纳法，也是无关，我们在下篇再议。

标题二、防止后继重复的公理4

然后，皮亚诺用实例来表明，公理4对于这个算术系统是必要的。反复琢磨皮亚诺短短的几个实例，很难说就理解了皮亚诺的文意。我不揣浅陋，把我的理解略述如下。
皮亚诺举出的实例后面的参量应该是一个属于三角函数的例子，涉及到弧度与弧长概念。半圆长度为一个π，弧度为180度，2π就是整个园，自然对应360度。两条半径形成的角度，对应圆周上的一个弧。那个2π/n的参变量称之为最小smallest，当n作为自然数时，取360当是2π/n最小，其值为1。
欧拉发现弧度概念

我做了两个表格，一个角度弧度的换算，一个是2π/n中的n取值结果。
角度与弧度换算表
角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 3π/2 2π

2π/n取值结果：当2π/n为最小值1的时侯，n为360，角度也是360
2π/n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 360
n值 360 180 120 90 72 60 约51 45 40 36 … 1
角度 360° 180° 120° 90° 72° 60° 360° 45° 40° 36° … 360°
弧度 2π π 2π/3 π/2 2π/5 π/3 2π/7 π/4 2π/9 π/2 … 2π

但因为我们的算术系统，数字之间的大小还没有定义，我们实际上还不知道何为大，何为小。所以，皮亚诺使用了一个假想的根，这个根的性质自然也是假想的，称作最小的参量。从上表可知，如果我们在2π/n中为n赋值的时候，这个赋值的第一值，也就是那个假想的最小参数1，对应了弧度中的最大值360°。这个赋值的过程按照自然数顺序递减，转到360的时候，结果则反过来了。
这告诉我们什么呢？很明显是告诉读者，如果我们没有一个公理来堵住这个循环，仅仅后继概念，那是会导致后继的重复的。这个角度弧度的后继赋值结果从1走到360以后，还可以继续前行，由此我们很可能就会有重复的后继。就像皮亚诺所言：那个第一根first root还会成为后来的第n个后继。要保证自然数不会走向循环重复之途，非得有公理4不可。
方程xn = 1的x，首根自然是1。首根与a的乘积，看作是根a的后继a’。那么，这个a’是个什么对象呢？用皮亚诺的话回答，这个首根在没有公理4的情况下，很有可能成为第n个后继。这真如同皮亚诺所举钟表的例子，小时这个系列，在12进制的钟表中，一点钟成为12点钟的后继。

标题三、公理4表明自然数的无穷

皮亚诺的这个公理4，其实在戴德金那里已经出现。戴德金论述自然数成立的条件，其中的条件3，元素1不包含在自然数的后继之中。这个条件3，几乎完全等同于皮亚诺的公理4。
无论是戴德金的条件3还是皮亚诺的公理4，除了堵住了后继的循环重复之外，一个十分自然的导出就是自然数的无限延伸特性。既然自然数的后继不允许重复，而且自然数都有后继可续，那么这就保证了，无论有多少自然数，我们总可以产生新的自然数。于是，一个有端口，无止境的自然数无限系列就成了当然。
自然数无限系列的存在，借助皮亚诺公理的1-4，似乎已经可以建立起来了。但为什么还需要皮亚诺的公理5，大约也是戴德金所说的完全归纳法定理80呢？这留给最后一篇读皮亚诺的博文吧。