逻辑归纳与数学归纳：皮亚诺公理5解读1—

逻辑归纳与数学归纳：皮亚诺公理5解读1——皮亚诺读后之七

本打算这个公理5的解读作为皮亚诺读后的终结篇，借助校图书馆的几个数据库，搜索数学归纳法的来龙去脉，发现这个数归法的历史还真值得一谈。估计这历史的追溯可成一篇，如果这个追溯正好有解读皮亚诺公理5的作用，那皮亚诺的阅读自然告一段落，我就该回到这次读书的主旨，弄明白一点哥德尔，在皮亚诺之后，就继续去跟读哥德尔了。但若容量太大，自然还得再来一篇博文。文字浏览，意蕴思索，观后成文，还是边读边想边盘算吧。

标题一、演绎与归纳

标题1、古典演绎与不那么古的古典归纳

逻辑的发展史总有让人感到奇异难解、诡谲莫测的地方。英国人威廉.涅尔夫妇上世纪60年代出版的《逻辑学的发展》一书，是逻辑史的必读书籍。全书洋洋近70万字，你几乎看不到有一处在讨论归纳逻辑。给人的印象，归纳本来就不是逻辑的一部分，无须在逻辑史中加以讨论似的。比这本书稍早的另一本逻辑史经典，德国人肖尔兹写的《简明逻辑史》，同样看不到归纳逻辑的任何讨论，同样，仿佛归纳就不是逻辑的一部分似的。
但逻辑史对于归纳的蔑视，一点也不影响一般的逻辑教科书。仅以国内逻辑教材为例，无论你看哪一本，都会在讨论逻辑学的分类时提及，逻辑有演绎逻辑，和演绎对应的是归纳逻辑。
尽管一般逻辑学者常常是把逻辑看作两大类，一类演绎的，一类归纳的。但谈到这两类逻辑的源头时，演绎总是要盖过归纳好几个头。演绎逻辑，那是逻辑的祖宗，归纳不过是这个祖宗之下的不知晚多少辈的玄而又玄之孙而已。
所以，我们谈到的古典演绎逻辑，那是亚里士多德（公元前384-322）时代创建的，这个古典才算是一个真正的古典。而谈到古典的归纳逻辑时，一般把英国人培根所著的那本《新工具》，看作是古典归纳的经典，可培根（1561-1626）所在的年代，那已经是16世纪了。培根和亚里士多德，相隔差不多有两千年之久矣。培根的那个古典，的确是不那么古的古典，距今也就500多年。（参见邓生庆，任晓明著《归纳逻辑百年历程》绪论章）
以上谈及的是逻辑，19世纪前的逻辑，那就仅仅是逻辑，那时的数学也仅仅是数学，两者之间好像存有交集的地方不多。这两门学科的相交，是19世纪之后的事情。但归纳这东西却有点古怪，在古典归纳出现之前，人们在数学中已经用到归纳。而且，这个归纳的含义，还和我们今天理解的归纳含义，大体是相近的。归纳这东西还有另一点古怪，既然逻辑在19世纪之前实际上和数学没有交集，那么，作为逻辑的归纳，自然也和数学没有交集，那它们在数学中如何体现的呢？在回溯这种体现之前，有必要对两种归纳做一点解读。

标题2、逻辑归纳和数学归纳

无论是亚里士多德还是培根，他们的归纳都是逻辑的。演绎的封闭性使得演绎逻辑似乎和数学有着天然般的联系。从一般原理推导出特殊的结论，这种从一般到特殊的思维进程，后来借助数学，发展成演绎科学方法论，即所谓元数学与元逻辑理论（参见塔尔斯基《逻辑与演绎科学方法论导论》第133页）。
作为逻辑另一个类别的归纳，似乎没有演绎那么的幸运。但回溯归纳的历史发展，特别是用皮亚诺公理5中的数学归纳法思想来看归纳，其实归纳在另一种意义上也在悄然前行。归纳的思维进程正好与演绎相对，从特殊到一般。这样的归纳，应该称作逻辑归纳。
这个从特殊到一般的思维过程，使得归纳自然具有开放性。而归纳的这种开放性，毫无疑问与数学思考中的无限，有着天然的联系。由此，归纳与有关无限的数学思考，成就了皮亚诺的算术公理化。而归纳的含义因为加上了数学成分，就有了一些新含义蕴含其中。原先作为逻辑的归纳，自然就成了有关无限的数学和归纳的结合，它由未曾命名，一直到戴德金的完全归纳定理，最后到皮亚诺公理5的数学归纳法通称。这时候很明显，归纳的原初含义已经有所变化，所以，这样的归纳，称作数学归纳虽然并不太合适，但这样的称呼已经约定俗成，还是称作数学归纳为好。
一旦我们用皮亚诺公理5中体现的数学归纳法来思索它的源头，很容易就会发现，数学和归纳结合而成的数学归纳法，其实远比演绎更早地被数学学者所用，我们甚至在古希腊的《几何原本》中，也能体验到数学归纳法的一些远古幽灵。

标题二、探索数学归纳法的源头

标题1、数学归纳法的《几何原本》古典痕迹

有一本前苏联逻辑史学者的著作《亚里士多德逻辑学说》，作者认为，亚里士多德不仅创建了演绎逻辑，他还研究过归纳逻辑。但亚氏的这种归纳是穷尽了一切可能，如同我们今天所讲的完全归纳一样。但这样一种归纳实际上还是演绎，和皮亚诺公理5所提到的数学归纳法，并不是一回事情。其最大的不同在于，亚里士多德的那个完全归纳，它所面对的推理材料是有限的材料，皮亚诺的数学归纳法所面对的，则是无穷尽的自然数对象。就此而言，如果我们要追溯归纳的更早来源的话，几何原本中的第九卷命题20，即著名的素数无穷命题，也许就是数学归纳法的一个源头。
欧几里得素数无穷命题是说，素数的个数与自然数的个数一样多．或者如原题所言：素数的个数比给定的素数个数多（参见李采菊译《几何原本》第299页）。这显然面对的是无穷对象，你想穷尽所有的元素没有可能。所以上述亚里士多德意义的完全归纳在这里似乎派不上用场。欧几里得在原本中使用的是反证法，但这种反证法，实际上也可以用当今数学归纳法的语言模式来做一些解释。
首先，至少有一个素数存在，因为2就是素数，这一点在欧几里得的证明中没有指明，但暗含在他的证明过程之中。
第二，欧几里得在其证明中表明，如果有n个素数，那么就必定有n+1个素数存在。这也是欧式证明中暗含着的命题，由此也就满足了现代数学归纳法的要求，证明了从n到n+1的递推关系，完成了数学归纳法证明的相关证明步骤。
不过，在欧几里得的证明中，没有使用任何明显的归纳术语与当今的数学归纳法格式，大概只能看作是蕴涵了现代数学归纳法的痕迹（参见冯进《数学归纳法的发展历程》），它的自身其实和数学归纳法并没有什么关联。

标题2、欧洲的虚构和伊斯兰数学家的数学归纳法

中世纪的欧洲是一个虚构，连欧洲都是一个空集合，现存的欧洲国家在那个时代，岂不更是虚构。这好像是十分自然的推导，没有欧洲，哪有欧洲的国家？中国有句老话，皮之不存，毛将焉附？用在这里应该是十分合适的。所以，所谓的欧洲古代历史，不过是因为那块地域如今都放在欧洲的范围之内，于是史家出于叙述的方便，借用这个现存地名来描述而已。德国数学家汉克尔（1839-1873）所说的欧洲，大概就是一个借用。但斐波拉契以后的300年，欧洲似乎就出现了。你用欧洲这个名称来称呼它之前的所在，好像也能谅解。这大概是语言描述历史时的一个困惑，我们不必对语言使用者做太为苛刻的要求。
汉克尔说：

人们惊奇地发现，莱昂那多（指意大利数学家L·斐波那契1170-1250）给予欧洲的那一磅钱，在300年问竞丝毫没有生出什么利息。
（转引自冯进《数学归纳法的发展历程》）

尽管汉克尔所说的欧洲，可能就是一个空集合，但汉克尔这段评论，在我看来，倒是说出了这样一个事实，称作意大利人的斐波拉契之后的300多年，即使有了欧洲，欧洲人这样的说法，在欧洲这块地域，数学几乎没有任何进展，也就是如汉克尔所言，斐波拉契的一块钱，300多年丝毫没有长出什么利息来。
然而，斐波拉契之后的300年，数学和逻辑虽然在那块地域基本上没有长出什么东西，但知识和学问也有基因在，因为语言差异的原因，实证的材料自然很是有限，但可以想象的是，知识和学问还是在潜生默长。不过，不再是那个曾经产生古希腊文化的地方，而是变异为另外的地域，另外的人群。知识和学问，它被另一个地域、另一种语言、另一类人群所承继，如同清代诗人的一首诗句：
李杜诗篇万口传，至今已觉不新鲜。
江山代有才人出，各领风骚数百年。

江山代有才人出，各领风骚数百年，这大概是从诗的角度在暗示科学、文学、艺术，也许是一切文化发展的曲折路径。逻辑与数学自然也是如此，不同的时代，不同的地域，不同的人群在创建有着普世价值的数学和逻辑。在斐波拉契的那个时代以后数百年，大西洋西岸地域的数学和逻辑，几乎就悄无声息。但依然有人在接盘，一般认为，是伊斯兰人的接盘，延续了数学和逻辑学研究的基因。
有资料表明，在中世纪，伊斯兰数学中就已经出现了类似数学归纳法的推理，这类推理在多种著作中多有发现。仅以13世纪的艾哈默德 ·阿布达瑞 ·伊本 ·穆恩依姆 (IbnMun’im，约12世纪末，马拉喀什，今位于摩洛哥)对于组合数的研究为例，就可窥见当时伊斯兰的数学中，已经有了点后来数学归纳法的影子（参见Katz《数学史通论》）。
伊本 ·穆恩依姆在讨论 n个元的集合中取 r件东西时，考虑了这样的计算问题：用十种不同颜色的丝绸，可以做成多少种不同颜色的丝绸捆件呢？他先指出一种颜色的捆件有十种可能，即 c：=10．两种颜色时，伊本.穆恩依姆使用了对偶的形式来表述。当 k小于 10时，类似地可计算 c．对 c ，伊本 ·穆恩依姆利用前面计算过的对偶数，将每个 c(kI3、4、…、 10)与指标小于 k的前面计算过的对偶配对。上面等式中的每个数字，都可在下图 3数表的“第二行”中，这里的第二行指表中数字表下面向上数起的第三行，右边第一列中的每个数字是它左边全部数字的和，事实上，表中的每一列数字往下移一个位置后，则其数字都是它左边全部数字之和．伊本 ·穆恩依姆不断提到这张表，以表明这样的计算是容易递推得到的。
递推图表

伊斯兰的穆恩依姆显然已经在图表中有了点递推意味，但数学似乎格外依赖意大利的学者，特别是数学归纳法领域。中世纪的欧洲虽然学术几乎就是荒野，可还是有居住在意大利的斐波拉契这样的人。大约在皮亚诺时代约500年前，斐波拉契之后约400年，大约处在世界历史上的文艺复兴时期，数学归纳法在这块地域出土了。皮亚诺在20世纪为算术建立了公理化的系统，有趣的是，另一位意大利数学家毛罗利科(F．Maurollco。1494-1575)于1575年在意大利的威尼斯出版其著作《算术》。在这本书中，他实际上描述并且使用了今天的数学归纳法（参见粱宗巨《数学家传略辞典》），从而被康托尔及许多著名数学家称为数学归纳法的奠基人。

标题三、意大利：数学归纳法的福地，数学家毛罗利科的《算术》

历史的怪异诡谲还在于它有时表现出的循环性，德国数学家汉克尔讥刺的中世纪欧洲学界，虽然几无成就。但经历漫长的中世纪之后，科学出现了曙光。毛罗利科的《算术》，大约就是欧洲曙光初露中的一颗明星。
他在该书中首先仿照《几何原本》，用图表定义了算术中各种不同的数，下表是其中的一部分。
各类数的列表定义：

这些用列表定义的数显然都是无穷数，用省略号表示无穷。有了这些数之后，在同一个横行中的数，毛罗利科定义为同行数，而任一数字都可称为下一行中任一数字的前行数，任一数字都可称其前一行中任一数的后行数．例如，他称第2列的偶数6是第4列中的15的前行数。
这个前行数和后行数的说法，很容易让人联想到皮亚诺未予定义的后继，联想到罗素的算术描述中，后继的在前之数罗素称之为前驱的概念。这些对于数字的描述，何其相似乃尔。难怪后来的数学史家认定，曾被人们看做数学归纳法之父的法国学者帕斯卡尔（1623-1662），一定读过毛罗利科的著作《算术》。
除了这个图表显示的数定义，数的前行数后行数观念，《算术》一书，实际上给出了算术中的一些命题的数学归纳法证明。这里就不再赘述，把毛罗利科随后的影响，以及数学归纳法的进一步发展的故事，留给下一篇博文。