蛮力法求解百元买百鸡问题

蛮力法（brute force methord，也称穷举法或者枚举法）是一种简单直接地解决问题的方法，常常直接基于问题的描述。所以，蛮力法也是最容易应用的方法。

蛮力法所依赖的基本技术是遍历（traversal,也称扫描），即采用一定的策略依次处理待求解问题的所有元素，从而找出问题的解。依次处理所有元素是蛮力法的关键，为了避免陷入重复试探，应保证处理过的元素不再被处理。用蛮力法设计的算法，一般来说，都可以对算法的第一个版本进行一定程度的改进，提高其时间性能，但只能减少系数，而数量级不会改变。
由于蛮力法需要依次穷举待处理的元素，因此，用蛮力法设计的算法其时间性能往往也是最低的，典型的指数时间算法一般都是采用蛮力穷举。但是，基于以下原因，蛮力法也是一种重要的算法设计技术：

（1)理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题。对于一些非常基本的问题，例如，求一个序列中的最大元素，计算n个数的和等，蛮力法是一种常用的算法设计技术。
（2)蛮力法经常用来解决一些较小规模的问题。如果要解决问题的输入规模不大，用蛮力法设计的算法其时间是可以接受的，此时，设计一个更高效算法的代价是不值得的。
（3)对于一些重要的问题（例如排序、查找、串匹配），蛮力法可以设计一些合理的算法，这些算法具有实用价值，而且不受输入规模的限制。
（4)蛮力法可以作为某类问题时间性能的下界，来衡量同样问题的其他算法是否具有更高的效率。

应用实例——百元买百鸡问题

【问题】已知总金额为100元，公鸡5元一只，母鸡3元一只，小鸡1元三只，一共需要买100只鸡，求解公鸡、母鸡、小鸡各多少只？

【想法】设公鸡、母鸡和小鸡的个数分别为x、y和z，则有以下方程组成立：

则百元买百鸡问题转换为求方程组的解。应用蛮力法求方程组的解只能依赖试探变量x、y和z的值，验证x、y和z的某个特定值是否能够使方程组成立。

【算法】设公鸡、母鸡和小鸡的个数分别为x、y和z，注意到方程组可能有多个解，需要输出所有满足条件的解，设变量count表示解的个数，算法用伪代码描述如下：

输入:无

输出：公鸡、母鸡和小鸡的个数

1. 初始化解的个数count=0；

2. 循环变量x从0～20重复执行下述操作：

2.1 循环变量y从0～33重复执行下述操作：

2.1.1 z=100-x-y;

2.1.2 如果5x+3y+z/3=100,则count++;输出x、y和z的值；

2.1.3 y++；

2.2 x++；

3. 如果count=0,则输出无解信息；

【算法分析】算法由两层循环嵌套组成，基本语句为5x+3y+z/3=100，所以操作执行次数为21X34=714.

【算法实现】

C语言代码如下：

#include<stdio.h>int main()
{int x, y, z;                                   //x、y和z表示 公鸡、母鸡和小鸡的个数                                        int count = 0;                                    //解的个数初始化为0for (x = 0; x < 20; x++)                       //公鸡个数的范围是0到20{for (y = 1; y <= 33; y++)                 //母鸡个数的范围是0到33{z = 100 - x - y;                        //满足条件x+y+z=100if ((z % 3 == 0) && (5 * x + 3 * y + z / 3 == 100)) //满足条件总价为100元，且小鸡的个数应该是3的倍数{count++;                           //问题解的个数加一printf("公鸡有%d只，母鸡有%d只，小鸡有%d只\n",x , y, z);    //输出所有解}}}if (count == 0)                                 //无解的情况printf("问题无解");}

输出结果：

//公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只
//公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只
//公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只
//公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只

参考书籍：《算法设计与分析》（第2版）

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