Yet Another Range Query Problem

题解

首先，看到这道题，我们应该是比较容易联想到扫描线加线段树的。
我们考虑维护每个点作为左端点到当前扫到的这个点作为右端点之间区间的信息。
显然，我们每次多在末尾加入一个数，只会改变一段连续区间的最小值与一段连续区间的最大值。
这个显然可以用栈维护，找到它会改变的是哪一段，显然，如果一个数能覆盖上一个数，那他肯定是能覆盖上一个数覆盖的所有数的。所以这部分是O(n)O\left(n\right)O(n)的。

那我们考虑我们该怎么计算答案呢？
显然我们不大可能在每一层都询问一下包含这一层的所有询问，这不TTT麻才怪。
这也就是说我们必须通过差分求出我们的答案。
如果要差分的话也就是说我们得记录历史和，不过貌似这个历史和不太好通过懒标记进行区间更改，但它应该是可以的。
其实大部分这样的懒标记更改，最后统计和的，我们都可以考虑通过矩阵来实现。
我们假设每个点上就记录向量(∑min⁡,∑max⁡,∑min⁡⋅max⁡,history sum,size)(\sum \min,\sum \max,\sum \min \cdot \max,\text {history sum},size)(∑min,∑max,∑min⋅max,history sum,size)。
那么显然，我们的操作都可以表示成对这个向量乘上一个矩阵。
比如说我们更改最小值就会使得∑min⁡\sum\min∑min和∑min⁡⋅max⁡\sum \min\cdot\max∑min⋅max发生更改。
由于都是改成一个相同的值，也就是∑min⁡\sum\min∑min变成x⋅sizex\cdot sizex⋅size，∑min⁡⋅max⁡\sum \min\cdot\max∑min⋅max变成x∑max⁡x\sum\maxx∑max。
说成矩阵就是，
[0000001x000000000010x0001]\left[\begin{array}{cc} 0&0&0&0&0\\ 0&1&x&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ x&0&0&0&1 \end{array}\right ] ⎣⎢⎢⎢⎢⎡0000x010000x0000001000001⎦⎥⎥⎥⎥⎤
更改max⁡\maxmax的与之类似。
另外就是每一层都要将总和加到历史和上一次，就是一个单位矩阵在(3,4)(3,4)(3,4)上放个111即可。
询问的时候返回历史和那一维就行。

不过如果直接矩阵乘法的话可能会被卡常，可以只选择只会变动的那几位，事实上直接选择(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(1,3)(1,4)(2,3)(2,4)(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)就行了，(1,1)(2,2)(3,3)(1,1)(2,2)(3,3)(1,1)(2,2)(3,3)都可以由其中的几个得出。
时间复杂度是大常数的O(nlog⁡n)O\left(n\log n\right)O(nlogn)，嗯，毕竟我们没有矩乘。

源码

#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3)
#pragma GCC optimize("Ofast")
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 150005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL;
typedef long double Ld;
typedef pair<LL,LL> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int mod=1e6+7;
const int inv2=499122177;
const int jzm=2333;
const int zero=200000;
const int n1=400;
const int orG=3,ivG=332748118;
const double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-9;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){_T f=1;x=0;char s=getchar();while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}x*=f;
}
template<typename _T>
void print(_T x){if(x<0)putchar('-'),print(-x);if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');}
LL gcd(LL a,LL b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int add(int x,int y,int p){return x+y<p?x+y:x+y-p;}
void Add(int &x,int y,int p){x=add(x,y,p);}
int qkpow(int a,int s,int p){int t=1;while(s){if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;}return t;}
int n,q,a[MAXN];
struct ming{int mn,mx,mul,siz,all;ming(){mn=mx=mul=siz=all=0;}
};
struct lazy{int admin,admax,admul,adall,mnmul,mxmul,mnall,mxall,mlall;lazy(){admin=admax=admul=adall=mnmul=mxmul=mnall=mxall=mlall=0;}
};
ming operator + (ming x,ming y){ming res;res.siz=x.siz+y.siz;res.mn=add(x.mn,y.mn,mo);res.mx=add(x.mx,y.mx,mo);res.mul=add(x.mul,y.mul,mo);res.all=add(x.all,y.all,mo);return res;
}
ming operator * (ming x,lazy y){ming res;res.siz=x.siz;res.all=x.all;if(y.admin)res.mn=1ll*x.siz*y.admin%mo;else res.mn=x.mn;if(y.admax)res.mx=1ll*x.siz*y.admax%mo;else res.mx=x.mx;if(y.admul||y.mnmul||y.mxmul)res.mul=(1ll*x.mn*y.mnmul+1ll*x.mx*y.mxmul+1ll*x.siz*y.admul)%mo;else res.mul=x.mul;Add(res.all,1ll*x.mul*y.mlall%mo,mo);Add(res.all,1ll*x.mx*y.mxall%mo,mo);Add(res.all,1ll*x.mn*y.mnall%mo,mo);Add(res.all,1ll*x.siz*y.adall%mo,mo);return res;
}
lazy operator * (lazy x,lazy y){lazy res;res.adall=add(x.adall,y.adall,mo);if(y.admin)res.admin=y.admin;else res.admin=x.admin;if(y.admax)res.admax=y.admax;else res.admax=x.admax;if(y.admul||y.mnmul||y.mxmul)res.admul=y.admul;else res.admul=x.admul;Add(res.adall,1ll*x.admin*y.mnall%mo,mo);Add(res.adall,1ll*x.admax*y.mxall%mo,mo);Add(res.adall,1ll*x.admul*y.mlall%mo,mo);res.mnall=(1ll*x.mnmul*y.mlall+x.mnall)%mo;if(!x.admin)Add(res.mnall,y.mnall,mo);res.mxall=(1ll*x.mxmul*y.mlall+x.mxall)%mo;if(!x.admax)Add(res.mxall,y.mxall,mo);Add(res.admul,1ll*x.admin*y.mnmul%mo,mo);Add(res.admul,1ll*x.admax*y.mxmul%mo,mo);res.mlall=x.mlall;if(!x.admul&&!x.mnmul&&!x.mxmul)Add(res.mlall,y.mlall,mo);if(!y.admul&&!y.mxmul&&!y.mnmul)Add(res.mxmul,x.mxmul,mo),Add(res.mnmul,x.mnmul,mo);if(!x.admax)Add(res.mxmul,y.mxmul,mo);if(!x.admin)Add(res.mnmul,y.mnmul,mo);return res;
}
class SegmentTree{private:ming tr[MAXN<<2];lazy lzy[MAXN<<2];void pushup(int rt){tr[rt]=tr[lson]+tr[rson];}void pushdown(int rt){if(lzy[rt].admin||lzy[rt].admax||lzy[rt].mlall){tr[lson]=tr[lson]*lzy[rt];lzy[lson]=lzy[lson]*lzy[rt];tr[rson]=tr[rson]*lzy[rt];lzy[rson]=lzy[rson]*lzy[rt];lzy[rt]=lazy();}}public:void build(int rt,int l,int r){tr[rt].siz=r-l+1;if(l==r)return ;int mid=l+r>>1;build(lson,l,mid);build(rson,mid+1,r);}void modifyMin(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;if(al<=l&&r<=ar){lazy tmp;tmp.admin=tmp.mxmul=aw;tr[rt]=tr[rt]*tmp;lzy[rt]=lzy[rt]*tmp;return ;}int mid=l+r>>1;pushdown(rt);if(al<=mid)modifyMin(lson,l,mid,al,ar,aw);if(ar>mid)modifyMin(rson,mid+1,r,al,ar,aw);pushup(rt);}void modifyMax(int rt,int l,int r,int al,int ar,int aw){if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return ;if(al<=l&&r<=ar){lazy tmp;tmp.admax=tmp.mnmul=aw;tr[rt]=tr[rt]*tmp;lzy[rt]=lzy[rt]*tmp;return ;}int mid=l+r>>1;pushdown(rt);if(al<=mid)modifyMax(lson,l,mid,al,ar,aw);if(ar>mid)modifyMax(rson,mid+1,r,al,ar,aw);pushup(rt);}void modify(int rt){lazy tmp;tmp.mlall=1;tr[rt]=tr[rt]*tmp;lzy[rt]=lzy[rt]*tmp;}int query(int rt,int l,int r,int al,int ar){if(l>r||l>ar||r<al||al>ar)return 0;if(al<=l&&r<=ar)return tr[rt].all;int mid=l+r>>1,res=0;pushdown(rt);if(al<=mid)Add(res,query(lson,l,mid,al,ar),mo);if(ar>mid)Add(res,query(rson,mid+1,r,al,ar),mo);return res;}
}T;
int stmin[MAXN],stmax[MAXN],stnk,stxk,ans[MAXN];
struct ask{int l,r,id,typ;};
vector<ask>vec[MAXN];
int main(){read(n);read(q);T.build(1,1,n);for(int i=1;i<=n;i++)read(a[i]);for(int i=1;i<=q;i++){int l,r,s,e;read(l);read(r);read(s);read(e);vec[e].pb((ask){l,r,i,1});vec[s-1].pb((ask){l,r,i,-1});}for(int i=1;i<=n;i++){while(stnk&&a[stmin[stnk]]>=a[i])stnk--;while(stxk&&a[stmax[stxk]]<=a[i])stxk--;T.modifyMin(1,1,n,stmin[stnk]+1,i,a[i]);stmin[++stnk]=i;T.modifyMax(1,1,n,stmax[stxk]+1,i,a[i]);stmax[++stxk]=i;T.modify(1);int siz=vec[i].size();for(int j=0;j<siz;j++)if(vec[i][j].typ>0)Add(ans[vec[i][j].id],T.query(1,1,n,vec[i][j].l,vec[i][j].r),mo);else Add(ans[vec[i][j].id],mo-T.query(1,1,n,vec[i][j].l,vec[i][j].r),mo);}for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);return 0;
}

谢谢！！！

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