题意：

给你一棵树，每棵树初始权值都为000，现在给你两个操作：

(1)(1)(1)将uuu的子树权值全部加111。

(2)(2)(2)将(u,v)(u,v)(u,v)路径上的点权值都加111。

每次输出一个点xxx,满足∑y=1Na[y]∗dis(x,y)\sum_{y=1}^Na[y]*dis(x,y)∑y=1Na[y]∗dis(x,y)最小，如果多个点相同，输出深度最小的点。

思路：

观察这个式子，发现就是一个带权重心的问题，如果不在重心显然向重心走更优，需要支持修改。

这个题有一个结论：深度最小的带权重心的子树带权和一定>>>总和的一半。

用反证法来证明，假设这个不满足，即非这个子树的权值和，一定≥\ge≥权值和的一半，显然向其父亲节点走之后，会使得减少至少一半的权值，加上不到一半的权值，会更优。

考虑如何找到这样的一个点，显然我们可与从头dfsdfsdfs每个点，判断是否合法，这个复杂度O(n)O(n)O(n)。

但是根据题面，我们显然要打一个树剖，这就跟dfsdfsdfs序扯上关系了，所以考虑能否将上面的问题转换到dfsdfsdfs上，用线段树来维护呢？

假设当前权值总和为sumsumsum，考虑在线段树上二分一个前缀≤sum2+1\le\frac{sum}{2}+1≤2sum+1的最大位置，将dfsdfsdfs映射到点，假设为pospospos，此时满足了什么呢？满足pospospos子树的权值总和≤sum2+1\le \frac{sum}{2}+1≤2sum+1，让后我们再向上倍增找到答案即可。

写完就过有被爽到。。

// Problem: I. Query On A Tree 17
// Contest: Codeforces - XXI Open Cup. Grand Prix of Korea
// URL: https://codeforces.com/gym/102759/problem/I
// Memory Limit: 1024 MB
// Time Limit: 2000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)//#pragma GCC optimize("Ofast,no-stack-protector,unroll-loops,fast-math")
//#pragma GCC target("sse,sse2,sse3,ssse3,sse4.1,sse4.2,avx,avx2,popcnt,tune=native")
//#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cstring>
#include<map>
#include<cmath>
#include<cctype>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<algorithm>
#include<sstream>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<random>
#include<cassert>
#define X first
#define Y second
#define L (u<<1)
#define R (u<<1|1)
#define pb push_back
#define mk make_pair
#define Mid ((tr[u].l+tr[u].r)>>1)
#define Len(u) (tr[u].r-tr[u].l+1)
#define random(a,b) ((a)+rand()%((b)-(a)+1))
#define db puts("---")
using namespace std;//void rd_cre() { freopen("d://dp//data.txt","w",stdout); srand(time(NULL)); }
//void rd_ac() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//AC.txt","w",stdout); }
//void rd_wa() { freopen("d://dp//data.txt","r",stdin); freopen("d://dp//WA.txt","w",stdout); }typedef long long LL;
typedef unsigned long long ULL;
typedef pair<int,int> PII;const int N=1000010,mod=1e9+7,INF=0x3f3f3f3f;
const double eps=1e-6;int n;
int dfn[N],se[N],fa[N][20],top[N],son[N],tot,depth[N];
int inv[N];
LL sum;
vector<int>v[N];
struct Node {int l,r;LL sum,lazy;
}tr[N<<2];void dfs1(int u,int f) {fa[u][0]=f; depth[u]=depth[f]+1; se[u]=1;for(int i=1;i<=18;i++) fa[u][i]=fa[fa[u][i-1]][i-1];for(auto x:v[u]) {if(x==f) continue;dfs1(x,u);se[u]+=se[x];if(se[x]>se[son[u]]) son[u]=x;}
}void dfs2(int u,int t) {top[u]=t; dfn[u]=++tot;inv[tot]=u;if(son[u]) dfs2(son[u],t);for(auto x:v[u]) {if(x==fa[u][0]||x==son[u]) continue;dfs2(x,x);}
}void pushup(int u) {tr[u].sum=tr[L].sum+tr[R].sum;
}void pushdown(int u) {LL lazy=tr[u].lazy; tr[u].lazy=0;tr[L].sum+=Len(L)*lazy; tr[L].lazy+=lazy;tr[R].sum+=Len(R)*lazy; tr[R].lazy+=lazy;
}void build(int u,int l,int r) {tr[u]={l,r};if(l==r) return;build(L,l,Mid); build(R,Mid+1,r);
}void change(int u,int l,int r) {if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) {tr[u].sum+=Len(u);tr[u].lazy++;return;}pushdown(u);if(l<=Mid) change(L,l,r);if(r>Mid) change(R,l,r);pushup(u);
}LL query_sum(int u,int l,int r) {if(tr[u].l>=l&&tr[u].r<=r) return tr[u].sum;pushdown(u);LL ans=0;if(l<=Mid) ans+=query_sum(L,l,r);if(r>Mid) ans+=query_sum(R,l,r);return ans;
}int query_k(int u,LL sum) {if(tr[u].l==tr[u].r) return inv[tr[u].l];pushdown(u);if(sum<=tr[L].sum) return query_k(L,sum);else return query_k(R,sum-tr[L].sum);
}void update(int x,int y) {while(top[x]!=top[y]) {if(depth[top[x]]<depth[top[y]]) swap(x,y);change(1,dfn[top[x]],dfn[x]);x=fa[top[x]][0]; }    if(depth[x]>depth[y]) swap(x,y);change(1,dfn[x],dfn[y]);
}int solve() {LL now=tr[1].sum/2+1;int pos=query_k(1,now);if(query_sum(1,dfn[pos],dfn[pos]+se[pos]-1)>=now) return pos;for(int i=18;i>=0;i--) if(fa[pos][i]&&query_sum(1,dfn[fa[pos][i]],dfn[fa[pos][i]]+se[fa[pos][i]]-1)<now) pos=fa[pos][i];return fa[pos][0];
}int main()
{//  ios::sync_with_stdio(false);
//  cin.tie(0); scanf("%d",&n);for(int i=1;i<=n-1;i++) {int a,b; scanf("%d%d",&a,&b);v[a].pb(b); v[b].pb(a);}dfs1(1,0); dfs2(1,1);build(1,1,n);int q; scanf("%d",&q);while(q--) {int op,l,r;scanf("%d%d",&op,&l);if(op==1) change(1,dfn[l],dfn[l]+se[l]-1);else scanf("%d",&r),update(l,r);printf("%d\n",solve());} return 0;
}
/**/

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XXI Open Cup. Grand Prix of Korea I. Query On A Tree 17 树剖 + 二分 + 树带权重心

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