CVX用户指南之半定编程模式

熟悉半定编程 （SDP）的人都知道，在上面关于集合成员的讨论中，使用集合semidefinite(n)的约束在实践中通常使用线性矩阵不等式（LMI）表示。例如，给定、约束表示;也就是说，即X为正半定。

CVX 提供了一种特殊的 SDP 模式，允许在 CVX 模型中使用 Matlab 的标准不等式运算符 >=， <=表示LMI。为了使用它，人们只需在模型前以cvx_begin sdp或 cvx_begin SDP语句开始，而不是简单地cvx_begin。

当 SDP 模式处于启用状态时，CVX 会以不同的方式解释某些不等式约束。具体而言：

等式约束的解释相同（即，按元素）。
涉及向量和标量的不等式约束的解释相同;即，按元素。
涉及非方阵的不等式约束是不允许的;尝试使用它们会导致错误。如果您希望对矩阵 X 和 Y 进行真正的逐元素比较，请使用向量化运算 X（:) <= Y（:) 或 vec（ X ） <= vec（ Y ））。（vec 是 CVX 提供的等效于冒号操作的函数。）

涉及实方阵的不等式约束解释如下：

X >= Y	becomes X - Y == semidefinite(n)
X <= Y	becomes Y - X == semidefinite(n)

如果任何一侧是复数的，则不等式解释如下：

X >= Y	becomes X - Y == hermitian_semidefinite(n)
X <= Y	becomes Y - X == hermitian_semidefinite(n)

还有一个额外的限制：X 和 Y 必须具有相同的大小，或者其中一个必须是标量零。例如，如果 X 和 Y 是大小为 n 的矩阵，

X >= 1	or 1 >= Y	非法
X >= ones(n,n)	or ones(n,n) >= Y	合法
X >= 0	or 0 >= Y	合法

实际上，CVX 对 LMI 约束的不等式运算符执行更严格的解释。

请注意，LMI 约束在其输入上强制执行对称性（实数或埃尔米特，视情况而定）。与SDPSOL不同，CVX不会为您提取对称部分：您必须注意确保对称性。由于 CVX 支持对称矩阵的声明，因此这相当简单。如果 CVX 无法确定 LMI 是否对称到合理的数值容差范围内，则会发出警告。我们提供了一个函数 sym（X），用于提取方阵的对称部分;即 sym（X） = 0.5*（X+X'）。
如果提供了双变量，则将应用于转换后的等式约束。如果找到最优点，它将被赋予一个正半定值。

因此，例如，在文件examples/closest_toeplitz_sdp.m中找到的CVX模型，

cvx_beginvariable Z(n,n) hermitian toeplitzdual variable Qminimize( norm( Z - P, 'fro' ) )Z == hermitian_semidefinite( n ) : Q;
cvx_end

也可以这样写：

cvx_begin sdpvariable Z(n,n) hermitian toeplitzdual variable Qminimize( norm( Z - P, 'fro' ) )Z >= 0 : Q;
cvx_end

CVX示例库中的许多其他示例使用半定约束;并且它们都使用SDP模式。要找到它们，只需使用您喜欢的文件搜索工具在 examples/子目录树中搜索文本cvx_begin sdp。

由于半定编程很受欢迎，有些人可能想知道为什么SDP模式不是默认行为。这样做的原因是，我们非常重视保持Matlab的原生行为与CVX行为之间的一致性。使用 >=、<=、><运算符来创建 LMI 偏离了该理想。例如，在上面的示例中，表达式 Z >= 0 将变量 Z 约束为正半定。但是，在求解模型并将 Z 替换为数值后，表达式 Z >= 0 将检验 Z 的元素非负性。要验证 Z 是否实际上是正半定，必须执行类似 min（eig（Z）） >= 0 的测试。

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