第12章方差分析介绍

第1章统计学入门

第2章频数分布略

第3章集中趋势的测量

第4章变异性

第5章分数的位置及标准化分布

第6章概率和正态分布

第7章概率和样本：样本均值的分布

第8章假设检验介绍

第9章t检验介绍

第10章两个独立样本的t检验

第11章两个相关样本的t检验

第12章方差分析介绍

第13章重复测量和双因素方差分析

第14章相关和回归

第15章卡方检验：拟合优度和独立性检验

方差分析用于比较两组及以上组间的平均数差异的情况。如果组别仅为两组，则应该使用t检验。

因素：方差分析中，用于分派组别的变量

水平：因素的个别情形或个别值

方差分析与t检验：

F比值与t值的基本结构一样，但是是基于变异而非样本平均数的差异。F值的分子上的方差提供了一个测量所有样本均值差异的数。分母的方差类似于t值分母上的标准误，测量的是如果没有处理效应的期望方差。

为什么不用t检验，而是用方差分析？

检验α水平：做一个单独的假设检验时犯第一类错误的可能性。实验α水平：当一个实验包括多个不同的假设检验时，实验中全部独立的检验所犯第一类错误积累后的犯错总概率。通常，实验α水平比任何一个单独的检验的α值大。方差分析可在一次实验中同时进行三个及以上均值差异的比较，避免了实验α的膨胀。

方差分析的统计假设：

虚无假设： $H_{0}$ ： $\mu _{1}$ = $\mu _{2}$ = $\mu _{3}$ 三种水平下的总体均值是相同的。

备择假设： $H_{1}$ ：总体平均数中至少有一个总体平均分不同于其他的总体平均分。

方差分析的逻辑：

【整个实验的总变异量可分解为处理间差异和处理内差异，F=处理间方差/处理内方差。1，如果不存在处理效应，处理间的差异全部来自随机因素。这时，F比值分子、分母的测量都是随机差异，且两者相等，F=(0+随机因素造成的差异)/随机因素造成的差异，当F值与1接近时，认为处理不存在效应。2，如果存在处理效应，处理间的差异来自随机因素和系统差异（处理造成的）。这时，系统差异和随机差异的和(分子)将显著大于随机因素造成的差异(分母)，F=(系统处理造成的差异+随机因素造成的差异)/随机因素造成的差异，F值会显著大于1。】

方差分析的计算流程：

自由度的计算： N:所有得分的个数；k:处理情境的个数（水平数）；n:每个处理情境的得分个数

效应量大小的计算：计算被处理效应所解释的方差比例 $\eta ^{2}$ ，测量得分之间的差异有多少可以被处理之间的差异所解释。

事后检验（成对比较、多重比较）：目的是确定哪些（组间）均值差异是显著的。事后检验涉及一系列单独的假设检验，每一个检验伴随着一个第一类错误。随着我们所做的单独检验的增多，第一类错误也同时累积（实验α水平）。

多重比较方法的选择：如果各组样本量相等，建议首选Tukey法；如果样本量不等，建议首选Scheffe法（如果比较组数不多，可使用Bonferroni法）；如果要分别比较每个试验组与对照组，可采用Dunnett法。

LSD法（最小显著差异法）：本质是t检验，但比t检验敏感性高。LSD法单次比较的检验水准仍然为α，所以虽然此方法灵敏度最高，但有增加第一类错误的可能。

Tukey(HSD)法：Tukey法较LSD法严格，但要求比较的样本容量相差不大，如果各组样本量相等，首选Tukey法。

SNK法：也叫q检验，该方法是Tukey法的修正，不要求组间样本量相同。此方法较Tukey法更保守，控制了犯第一类错误的概率，但控制仍不够严格。

Scheffe法:可以同时检验所有可能的对比，不用再两两去比较。是组间样本量不同时的常用方法。

Bonferroni法：是最为保守的方法，需要比较的次数越多（≥10次），结果越保守；如果组数较少，可以使用Bonferroni法。

Dunnett法：类似于LSD法，但是有特殊临界值表。适用于多个实验组与对照组间均数差别的多重比较。

Sidak法：当比较次数较多时（如多于10次），建议使用。

Duncan法：是SNK法的修正，不用查q表，改为查SSR表。但是较SNK提高了犯第一类错误，降低了犯第二类错误的概率。

以上方法，使用的前提是满足方差齐性，如果方差不齐，可采用Games-Howell、Tamhanes' T2等多重比较方法。

独立测量方差分析的假设：1，每个样本的观测值相互独立。2，样本所属的总体服从正态分布。（不重要，尤其是大样本>30时）。3，样本所属的总体的方差齐性。（很重要，可用Hartley F-max来检验方差是否同质）。

方差不齐性，原则上不能进行方差分析，可以1，做数据转换，使其接近齐性，比如box—cox转换、对数转换等。2，改用非参数检验方法。

参考文献

方差分析多重比较的选择.医研经纬，2019.
方差分析后的两两比较方法选择，真的无迹可寻吗.小白学统计，2016.

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