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  • Risk Management and Financial Institution Chapter 11 —— Correlations and Copulas
    • 11.1 Definition of Correlation
      • 11.1.1 Correlation vs Dependence 相关与独立
    • 11.2 Monitoring Correlation 检测相关性
      • 11.2.1 EWMA
    • 11.2.2 GARCH
    • 11.3 Correlation and Covariance Matrices 相关性与协方差矩阵
      • 11.3.1 Consistency Condition for Covariances 协方差的一致性
    • 11.4 Multivariate Normal Distributions 多元正态分布
      • 11.4.1 多元正态分布生成随机样本（略）
      • 11.4.2 因子模型
    • 11.5 Copulas
      • 11.5.1 用代数方式表达copulas
      • 11.5.2 Other Copulas
      • 11.5.3 Tail Dependence
      • 11.5.4 多元copulas
      • 11.5.5 因子copula模型
    • 11.6 贷款组合中的应用：Vasicek’s model
      • 11.6.1 Vasicek model 的证明（略）

Risk Management and Financial Institution Chapter 11 —— Correlations and Copulas

  • it is important for a risk manager to estimate correlations between the changes in market variables as well as their volatilities when assessing risk exposures

  • 风险管理中，波动率的估计以及相关性的估计同样重要

  • 本章阐述相关性的监测，解释copulas的概念，是定义多变量相关性结构的工具，无需考虑变量的概率分布

  • 本章展示如何利用copula 来建立组合违约相关性的模型，这个模型被巴塞尔II资本要求中使用

11.1 Definition of Correlation

  • 相关性的定义：ρ，在变量V1 和 V2 之间的定义为：

  • SD是标准差，E()是期望

  • 如果ρ = 0 ，代表上述公式的分子为 0

  • 如果V1 = V2，那么分子和分母都为V1的方差，则ρ = 1

  • 上述分子也可以写为 V1 和 V2 的协方差

  • 虽然ρ 更直观，但是协方差是分析的基本变量，如EWMA和GARCH模型的基本变量是方差率，而不是波动率

11.1.1 Correlation vs Dependence 相关与独立

  • 如果已知某一变量对另外一个变量的概率分布没有影响，那么说两个变量统计独立

  • Formally, V1 and V2 are independent if:

  • 基于V1的V2的概率密度函数就等于V2本身的概率密度函数

  • ρ仅仅衡量线性相关，

  • 图a代表线性相关

  • 图b代表ρ = 0 的相关

  • 图c代表金融变量的相关性，V1的极端变化会触发V2的极端变化，在市场危机状态下，所有的相关性趋向于1

  • 通过检验V2的标准差在V1条件下，也可以考察两者的相关性，当V2和V1是二元正态分布时，该条件方差是常数，其他情况与V1的值有关

11.2 Monitoring Correlation 检测相关性

  • EWMA，GARCH用来衡量监测方差率
  • 两个变量之间的每日协方差率被定义为变量日回报的协方差

  • 风险经理假设变量日回报的期望为0，计算协方差时我们使用同样的假设

11.2.1 EWMA

  • 久远的旧数据不应该与最近的观测值有相同的权重

  • 协方差的指数移动平均方法：

Suppose that λ = 0.95 and that the estimate of the correlation between two variables X and Y on day n − 1 is 0.6. Suppose further that the estimates of the volatilities for X and Y on day n − 1 are 1% and 2%, respectively. From the relationship between correlation and covariance, the estimate of the covariance rate between X and Y on day n − 1 is

Suppose that the percentage changes in X and Y on day n − 1 are 0.5% and 2.5%, respectively. The variance rates and covariance rate for day n would be updated as follows:

11.2.2 GARCH

  • 存在一个长期的协方差

11.3 Correlation and Covariance Matrices 相关性与协方差矩阵

  • 方差和协方差矩阵更方便，如下图：

11.3.1 Consistency Condition for Covariances 协方差的一致性

  • 并不是所有的方差协方差矩阵都满足内部一致性条件，基本的条件公式：

  • 满足上述特性的矩阵被称作半正定矩阵

  • 为了保持半正定性，方差以及协方差需要在同样条件下计算，相同权重计算或者指数权重计算

  • 半正定矩阵的小变化在三个变量时依然会是半正定，当小变化在100个变量时，半正定就不能保证了

11.4 Multivariate Normal Distributions 多元正态分布

  • 非正态分布的变量，也可以通过多元正态分布研究其相关性

11.4.1 多元正态分布生成随机样本（略）

  • 乔勒斯基分解

11.4.2 因子模型

  • U 是正态分布，F 是因子 ，ai是-1 到 1 的常数，Zi是与其他变量不相关的部分

  • Zi系数的选择是为了Ui有均值0，以及方差1

  • F 决定了Ui之间的相关性，Ui和Uj之间的相关性是aiaj

  • Without assuming a factor model, the number of correlations that have to be estimated for the N variables is N(N − 1)/2

  • CAPM模型是因子模型的一种，系统性风险为F ，其他为非系统性风险

11.5 Copulas

  • 已经变量的边际分布，如何假设两个变量的联合分布

  • copulas 可以定义两个边际分布的相关性结构

  • V1 和V2有三角形的概率密度函数，值域都为[0, 1],面积都为1
  • 利用高斯copula，映射V1 和 V2 为U1 和U2的新变量，U1 和 U2 有标准正态分布
  • The mapping is accomplished on a percentile-to-percentile basis

  • instead of defining a correlation structure between V1 and V2 directly, we do so indirectly. We map V1 and V2 into other variables that have well-behaved distributions and for which it is easy to define a correlation structure
  • The correlation between U1 and U2 is referred to as the copula correlation
  • 条件：This is not, in general, the same as the coefficient of correlation between V1 and V2. Because U1 and U2 are bivariate normal, the conditional mean of U2 is linearly dependent on U1 and the conditional standard deviation of U2 is constant (as discussed in Section 11.4). However, a similar result does not in general apply to V1 and V2

11.5.1 用代数方式表达copulas

11.5.2 Other Copulas

  • 除了高斯copulas 外，还有 Student’s t - copula
  • variables U1 and U2 are assumed to have a bivariate Student’s t-distribution instead of a bivariate normal distribution

11.5.3 Tail Dependence

  • The figures illustrate that it is much more common for the two variables to have tail values at the same time in the bivariate Student’s t-distribution than in the bivariate normal distribution

  • the tail dependence is higher in a bivariate Student’s t-distribution than in a bivariate normal distribution

  • the Student’s t-copula provides a better description of the joint behavior of two market variables than the Gaussian copula

11.5.4 多元copulas

  • 与之前步骤一致

    • 按比例把原分布映射为标准正态分布
    • 假定映射后的分布服从多元正态分布

11.5.5 因子copula模型

  • In multivariate copula models, analysts often assume a factor model for the correlation structure between the Ui.
  • F and the Zi have standard normal distributions. The Zi are uncorrelated with each other and with F

11.6 贷款组合中的应用：Vasicek’s model

  • 介绍一因子高斯copula模型的应用，用来理解巴塞尔协议二的资本金要求

  • 假设：

    • 贷款组合中每一个贷款的年违约率为1%
    • 贷款组合的贷款违约率被宏观经济条件影响

  • we define Ti as the time when company i defaults

  • Note that if ρ = 0, the loans default independently of each other and WCDR = PD. As ρ increases, WCDR increases

11.6.1 Vasicek model 的证明（略）

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