Problem B. Harvest of Apples（莫队离线）

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Problem Description

There are n apples on a tree, numbered from 1 to n.
Count the number of ways to pick at most m apples.

Input

The first line of the input contains an integer T (1≤T≤10^5) denoting the number of test cases.
Each test case consists of one line with two integers n,m (1≤m≤n≤10^5).

Output

For each test case, print an integer representing the number of ways modulo 10^9+7.

Sample Input

2
5 2
1000 500

Sample Output

16
924129523

题意

求∑mi=0∑i=0m\sum_{i=0}^{m}C(n,i)。

解题思路

开始拿到这个题的时候还有些窃喜，诶，组合数求和，逆元搞一搞就行了，多捞哦！然后仔细一看数据范围，O(n^2)算法复杂度必超，尝试性的挑战了一下后台样例，果断TLE。然后我TM就找规律去了，woc杨辉三角，有点搞头，然后就没有然后了。。

以前没有学过莫队算法，这真的是一种神奇的暴力解题方式。因为这题没有涉及到数据更新，所以我们可以把查询离线，然后分块。又因为（我们这里令∑mi=0∑i=0m\sum_{i=0}^{m}C(n,i)=S(n,m)）

S(n+1,m)=2*S(n,m)-C(n,m)

S(n-1,m)=S(n,m)+C(n-1,m)

S(n,m+1)=S(n,m)+C(n,m+1)

S(n,m-1)=S(n,m)-C(n,m)

PS:如果我们知道区间[L,R]，就能在比较短的时间内求出[L−1,R],[L+1,R],[L,R−1],[L,R+1]的话，那就可以用莫队算法了。具体看代码吧。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e5+50;
const int mod = 1e9+7;long long inv[maxn],fac[maxn];
long long quickpow(long long a, long long b)
{long long ret = 1;a %= mod;while(b){if (b & 1) ret = (ret * a) % mod;b >>= 1;a = (a * a) % mod;}return ret;
}
void init()
{fac[0]=inv[0]=1;for(int i=1; i<maxn; i++){fac[i]=(fac[i-1]*i)%mod;  //得到阶乘inv[i]=quickpow(fac[i],mod-2);  //得到阶乘的逆元}
}int pos[maxn];//块
struct node
{int n,m,id;
} p[maxn];int cmp(node a,node b)//让相邻两个操作的操作次数尽可能的小
{if(pos[a.n]==pos[b.n]) return a.m<b.m;return pos[a.n]<pos[b.n];
}
int n,m;
long long ans,res[maxn];long long getnumber(int n,int m)
{if(n<m) return 0;return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
void addn(int n,int m)  /*S(n+1,m)=2*S(n,m)-C(n,m)*/
{ans=(2*ans%mod-getnumber(n,m)+mod)%mod;  //不加mod取模会错
}
void addm(int n,int m)  /*S(n-1,m)=S(n,m)+C(n-1,m)*/
{ans=(ans+getnumber(n,m+1))%mod;
}
void subn(int n,int m)  /*S(n,m+1)=S(n,m)+C(n,m+1)*/
{ans=(ans+getnumber(n-1,m))*inv[2]%mod;
}
void subm(int n,int m)  /*S(n,m-1)=S(n,m)-C(n,m)*/
{ans=(ans-getnumber(n,m)+mod)%mod;    //ts
}int main()
{
#ifdef DEBUGfreopen("in.txt","r",stdin);freopen("out.txt","w",stdout);
#endif // DEBUGinit();int t,block=(int)sqrt(1.0*maxn);scanf("%d",&t);for(int i=1; i<=t; i++) scanf("%d%d",&p[i].n,&p[i].m),p[i].id=i,pos[i]=i/block;sort(p+1,p+1+t,cmp);n=1,m=0,ans=1;for(int i=1; i<=t; i++){while(n<p[i].n) addn(n++,m);while(n>p[i].n) subn(n--,m);while(m<p[i].m) addm(n,m++);while(m>p[i].m) subm(n,m--);res[p[i].id]=ans;}for(int i=1; i<=t; i++) printf("%lld\n",res[i]);return 0;
}

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