知识点 - 二次剩余

解决问题类型：

求模意义下的平方根

一些公式推导有用

定义

q被称作模n的二次剩余quadratic residue 当且仅当存在x使得:
x2=q(modn)x^2=q(mod\ n) x2=q(mod n)
否则q被称作二次非剩余quadratic nonresidue

性质

两个二次剩余的乘积还是二次剩余

模n的二次剩余的数量不会超过n/2 + 1

模质数的二次剩余

模2下，所有数都是二次剩余。下面的质数不包括2

模p下有(p-1)/2个二次剩余和二次非剩余。（不包括0）

欧拉准则Euler’s criterion 可以用来判定某个数是不是模p的二次剩余:

ap−12≡{   1(modp)if there is an integer xsuch that a≡x2(modp)−1(modp)if there is no such integer.{\displaystyle a^{\tfrac {p-1}{2}}\equiv {\begin{cases}\;\;\,1{\pmod {p}}&{\text{ if there is an integer }}x{\text{ such that }}a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1{\pmod {p}}&{\text{ if there is no such integer.}}\end{cases}}}a2p−1≡{1(modp)−1(modp) if there is an integer x such that a≡x2(modp) if there is no such integer.

模p下，二次剩余的逆元是二次剩余；二次非剩余的逆元是二次非剩余。

模p下，两个非剩余的乘积是二次剩余，二次剩余乘二次非剩余是二次非剩余。

若 p ≡ 1 (mod 4) ，二次剩余的负数为二次剩余，二次非剩余的负数为二次非剩余。

若p ≡ 3 (mod 4)，二次剩余的负数为二次非剩余，二次非剩余的负数为二次剩余。

平方根公式

一种特解：

如果
pmod4=3，x2modp=ap\ mod\ 4 =3，x^2\ mod\ p = a p mod 4=3，x2 mod p=a

那么 x=±pow(a,(p+1)/4,p)x = ±pow(a, (p+1)/4, p)x=±pow(a,(p+1)/4,p)

模质数p时，二次剩余a有1+(a∣p)1 + (a|p)1+(a∣p)个根

模和数n时，将n分解成不同的质数，分别求解，然后用crt合并。根的个数就是分别模这些质数的个数乘积。

当然也可以看成高次同余方程求解

求一个二次剩余

在[0,p−1][0,p−1][0,p−1]随机挑选一个数，称其为aaa ，定义 w=a2−nw=a^2-nw=a2−n 若wp−12=−1w^{\tfrac {p-1}{2}}=-1w2p−1=−1则(a+w)p+12(a+\sqrt w)^{\frac{p+1}{2}}(a+w)2p+1时一个二次剩余

有了最后一个定理，我们就可以通过随机选择a的值来找到一个满足条件的解。可以证明找到正解所需的次数的期望只有2.

struct field{int x,y;field(int a=0,int b=0){x=a;y=b;}
};
field operator*(field a,field b){return field(a.x*b.x%p+a.y*b.y%p*w%p,a.x*b.y%p+a.y*b.x%p);}int ran(){static int seed=23333;return seed=((((((ll)seed^20030927)%p+330802)%p*9410)%p-19750115+p)%p^730903)%p;
}int pows(int a,int b){int base=1;while(b){if(b&1) base=base*a%p;a=a*a%p;b/=2;}return base;
}field powfield(field a,int b){field base=field(1,0);while(b){if(b&1) base=base*a;a=a*a;b/=2;}return base;
}int legander(int x){int a=pows(x,(p-1)/2);if(a+1==p) return -1;return a;
}int surplus(int x){int a;if(legander(x)==-1) return 0;while(1){a=ran()%p;w=((a*a-x)%p+p)%p;if(legander(w)==-1) break;}field b=field(a,1);b=powfield(b,(p+1)/2);return b.x;
}

复杂度：

log(p)log(p)log(p)

例题

2019牛客多校#9 B Quadratic equation 求模意义下二次方程。

给你

(x+y)modp=b(x + y)\ mod\ p = b(x+y) mod p=b

(x×y)&VeryThinSpace;mod&VeryThinSpace;p=c(x \times y) \bmod p=c(x×y)modp=c

即解x2−bx+c≡0x^2-bx+c\equiv 0x2−bx+c≡0

代码

#include<cstdio>
#define ll long long
const int mo=1e9+7,inv2=(mo+1)/2;
int Pow(int x,int n){int k=1;for (;n;n>>=1,x=(ll)x*x%mo)if (n&1) k=(ll)k*x%mo;return k;
}
int main(){int TEST;scanf("%d",&TEST);for (;TEST--;){int a,b;scanf("%d%d",&a,&b);int k=(((ll)a*a-4ll*b)%mo+mo)%mo;int v=Pow(k,(mo+1)/4);if ((ll)v*v%mo!=k){puts("-1 -1");continue;}int x=(ll)(v+a)*inv2%mo;int y=(a-x+mo)%mo;if (x>y) x^=y,y^=x,x^=y;printf("%d %d\n",x,y);}
}