文章目录

cosh
- 为何叫双曲线
- - exp(x)曲线
  - exp(-x) 曲线
  - exp(x)+exp(-x) 两曲线叠加
  - 调整x=0时，y=0
  - 调整x=-2 or 2时，y=1
exp(-x*x)
sinh
smoothstep
tanh
perlin noise ease curve 1
perlin noise ease curve 2
Summary
excel 文件
References

xxxh
中的h==>hyperbolic：双曲线的意思

cosh

// see: https://developer.download.nvidia.cn/cg/cosh.html
float cosh(float x)
{return 0.5 * (exp(x)+exp(-x));
}

0.5∗(exp(x)+exp(−x))0.5 * (exp(x)+exp(-x))0.5∗(exp(x)+exp(−x))

为何叫双曲线

因为exp(x)就是一个曲线，而cosh中有exp(x)与exp(-x)，所以就是两个（双）曲线咯

exp(x)曲线

exp(x)exp(x)exp(x)

exp(-x) 曲线

exp(−x)exp(-x)exp(−x)

exp(x)+exp(-x) 两曲线叠加

exp(x)+exp(−x)exp(x)+exp(-x)exp(x)+exp(−x)

调整x=0时，y=0

exp(x)+exp(−x)−2exp(x)+exp(-x)-2exp(x)+exp(−x)−2

调整x=-2 or 2时，y=1

(exp(x)+exp(−x)−2)∗(1/exp(x)+exp(−x)−2)(exp(x)+exp(-x)-2)*(1/exp(x)+exp(-x)-2)(exp(x)+exp(−x)−2)∗(1/exp(x)+exp(−x)−2)
==>
∵curv=(exp(x)+exp(−x)−2)\because curv=(exp(x)+exp(-x)-2)∵curv=(exp(x)+exp(−x)−2)
∵invCurv=1/curv\because invCurv=1/curv∵invCurv=1/curv
∴1=curv∗invCurv\therefore 1=curv*invCurv∴1=curv∗invCurv

exp(-x*x)

2022/07/14 再补充一条曲线
因为在制作 SSS 时，看到别人的代码中有一曲线

half3 Transmittance(half transmittanceMask, half3 sssColor, half3 lightDir, half3 normal, half3 viewDir)
{half3 lll = normalize(lightDir + normal * 0.1f);half VdotL = saturate(dot(viewDir, -lll));half thickness = 1.0f - (VdotL * transmittanceMask);//return exp((thickness) * half3( -8, -40, -64 ) ); // refreturn exp(-(thickness * thickness)) * sssColor * (1.0 - thickness);
}

其中留意：exp(-(thickness * thickness))

单独查看：exp(-x*x

sinh

float sinh(float x)
{return 0.5 * (exp(x)-exp(-x));
}

smoothstep

smoothstep(min,max,x)

它的公式如下：
smoothstep(x)=−2⋅(x−minmax−min)3+3⋅(x−minmax−min)2smoothstep(x)=-2 \cdot (\frac{x-min}{max-min})^3+3 \cdot (\frac{x-min}{max-min})^2 smoothstep(x)=−2⋅(max−minx−min)3+3⋅(max−minx−min)2

代码是在公式的基础上优化了写法的，可读性会差非常的多！

float smoothstep(float a, float b, float x)
{float t = saturate((x - a)/(b - a));return t*t*(3.0 - (2.0*t));
}

tanh

float tanh(float x)
{float exp2x = exp(2*x);return (exp2x - 1) / (exp2x + 1);
}

tanh 的头部过渡速度比较快，中，尾部比较缓慢
一般比较多的动画也会用到类似的曲线

perlin noise ease curve 1

3(t2)−2(t3)3(t^2)−2(t^3)3(t2)−2(t3)可见perlin noise中初版的平滑插值，与smoothstep非常相似

3(t^2)−2(t^3)

perlin noise ease curve 2

6(t5)−15(t4)+10(t3)6(t^5)−15(t^4)+10(t^3)6(t5)−15(t4)+10(t3)

6(t^5)−15(t^4)+10(t^3)

curve 2比curve 1的头尾过渡比较缓慢，也就是说作数值过渡会比较饱满的头尾，中部过渡比较快一些

Summary

其实我们在很多平台的动画库（tween）都会有类似的插值过渡算法

excel 文件

cosh_sinh_smoothstep_tanh_perlinEaseCurve1&2.xlsx 提取码: dxnr

References

Cg / Standard Library / cosh
Cg / Standard Library / sinh
Cg / Standard Library / smoothstep
Cg / Standard Library / tanh
cg中的关键字、语义词、函数库

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