概念

树是 n （ n ≥ 0 ） n（n \geq 0） n（n≥0）个结点的有限集合 T ( T r e e ) T(Tree) T(Tree) 。当 n = 0 n=0 n=0 时，称为空树；当 n > 0 n>0 n>0 时，该集合满足如下条件：

其中必有一个称为根（root）的特定结点，它没有直接前驱，但有零个或多个直接后继。
其余 n − 1 n-1 n−1 个结点可以划分成 m （ m ≥ 0 ） m（m \geq 0） m（m≥0）个互不相交的有限集 T 1 ， T 2 ， T 3 ， ⋯ ， T m T_{1}，T_{2}，T_{3}，\cdots ，T_{m} T1，T2，T3，⋯，Tm ，其中 T i T_{i} Ti 又是一棵树，称为根 r o o t root root的子树。每棵子树的根结点有且仅有一个直接前驱，但有零个或多个直接后继。

基本术语

结点：包含一个数据元素及若干指向其它结点的分支信息
结点的度：一个结点的子树个数称为此结点的度。
叶结点：度为 0 的结点，即无后继的结点，也称为终端结点。
分支结点：度不为 0 的结点，也称为非终端结点。
孩子结点：一个结点的直接后继称为该结点的孩子结点。
双亲结点：一个结点的直接前驱称为该结点的双亲结点。
兄弟结点：同一双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
祖先结点：一个结点的祖先结点是指从根结点到该结点的路径上的所有结点。
子孙结点：一个结点的直接后继和间接后继称为该结点的子孙结点。
树的度：树中所有结点的度的最大值。
结点的层次：从根结点开始定义，根结点的层次为1，根的直接后继的层次为2，依此类推。
树的高度（深度）：树中所有结点的层次的最大值。
有序树：在树T 中，如果各子树Ti之间是有先后次序的，则称为有序树。
森林： m （ m ≥ 0 ） m（m \geq0） m（m≥0）棵互不相交的树的集合。将一棵非空树的根结点删去，树就变成一个森林；反之，给森林增加一个统一的根结点，森林就变成一棵树。

二叉树

定义

我们把满足以下两个条件的树形结构叫做二叉树（Binary Tree）：

每个结点的度都不大于2；
每个结点的孩子结点次序不能任意颠倒。

二叉树的五种基本形态

二叉树的特殊形式

满二叉树：

深度为 k k k 且有 2 k − 1 2k-1 2k−1 个结点的二叉树。在满二叉树中，每层结点都是满的，即每层结点都具有最大结点数。

完全二叉树：

深度为 k k k ，结点数为 n n n 的二叉树，如果其结点 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n 的位置序号分别与满二叉树的结点 1 ∼ n 1 \sim n 1∼n的位置序号一一对应(也就是深度为 1 ∼ k − 1 1 \sim k-1 1∼k−1的所有结点都是满二叉树，第 k k k 层结点全部都靠在左边)，则为完全二叉树.

性质

在二叉树的第 i i i 层上至多有 2 i − 1 2^{i-1} 2i−1 个结点 ( i ≥ 1 ) ( i \geq 1) (i≥1)。
深度为k的二叉树至多有 2 k − 1 2^{k}-1 2k−1 个结点（ k ≥ 1 ）（k \geq 1）（k≥1）。
对任意一棵二叉树 T T T，若终端结点数为 n 0 n_{0} n0 ，而其度数为 2 的结点数为 n 2 n_{2} n2，则 n 0 = n 2 + 1 n_{0}=n_{2}+1 n0=n2+1。
具有 n n n 个结点的完全二叉树的深度为 i n t ( l o g 2 n ) + 1 int(log_{2}n)+1 int(log2n)+1
对于具有 n n n 个结点的完全二叉树，如果按照从上到下和从左到右的顺序对二叉树中的所有结点从 1开始顺序编号，则对于任意的序号为 i i i 的结点有：
（1）如 i = 1 i=1 i=1，则序号为 i i i 的结点是根结点，无双亲结点；如 i > 1 i>1 i>1 ，则序号为 i i i 的结点的双亲结点序号为 i n t ( i / 2 ) int(i/2) int(i/2) 。
（2）如 2 × i > n 2 \times i>n 2×i>n，则序号为i的结点无左孩子；如 2 × i ≤ n 2 \times i \leq n 2×i≤n，则序号为i的结点的左孩子结点的序号为 2 × i 2 \times i 2×i 。
（3）如 2 × i ＋ 1 > n 2 \times i＋1>n 2×i＋1>n，则序号为 i i i 的结点无右孩子；如 2 × i ＋ 1 ≤ n 2 \times i＋1 \leq n 2×i＋1≤n，则序号为i的结点的右孩子结点的序号为 2 × i ＋ 1 2 \times i＋1 2×i＋1

存储结构

二叉树的结构是非线性的，每一结点最多可有两个后继。
二叉树的存储结构有两种：顺序存储结构和链式存储结构。
1.顺序存储结构

2. 链式存储结构
对于任意的二叉树来说，每个结点最多只有两个孩子，一个双亲结点。我们可以设计每个结点至少包括三个域：数据域、左孩子域和右孩子域.
用C++可以这样声明二叉树的二叉链表结点的结构：

typedef struct Node
{DataType data; struct Node *LChild; struct Node *RChild;
}BiTNode,  *BiTree;

遍历

我们用L、D、R分别表示遍历左子树、访问根结点、遍历右子树，那么对二叉树的遍历顺序就可以有六种方式：

访问根，遍历左子树，遍历右子树（记做DLR）。
访问根，遍历右子树，遍历左子树（记做DRL）。
遍历左子树，访问根，遍历右子树（记做LDR）。
遍历左子树，遍历右子树，访问根（记做LRD）。
遍历右子树，访问根，遍历左子树（记做RDL）。
遍历右子树，遍历左子树，访问根（记做RLD）。

先序遍历： A、 B、 D、 F、 G、 C、 E、 H 。
中序遍历： B、 F、 D、 G、 A、 C、 E、 H 。
后序遍历： F、 G、 D、 B、 H、 E、 C、 A 。

例题

小球（drop）
设置一个计数器，如果此结点为 f a l s e false false ，将它变为 t r u e true true，访问左子树；如果此结点为 t r u e true true，将他变为 f a l s e false false，访问右子树；最后输出 m m m 次循环后所访问的叶子节点。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int Max = 5242885;
int d, l, last, maxn;
bool vis[Max];
void dfs(int x){if(!vis[x]){vis[x] = 1;if(2 * x > maxn){last = x;return ;}     dfs(2 * x);}else{vis[x] = 0;if(2 * x + 1 > maxn){last = x;return ;} dfs(2 * x + 1);}
}
int main() {scanf("%d %d", &d, &l);maxn = pow(2, d) - 1;while(l--) dfs(1);printf("%d", last);return 0;
}

扩展二叉树

先用指针变量和线性链表建立一个二叉树，然后用递归分别输出中序序列和后续序列即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
struct node{char id;int cld[2];
}tree[85];
int root,cnt;
int newnode(char v){cnt++;tree[cnt].id = v;tree[cnt].cld[0] = tree[cnt].cld[1] = 0;return cnt;
}
void build(int &rt){char c;c = getchar();if(c == '.') return;rt = newnode(c);build(tree[rt].cld[0]);build(tree[rt].cld[1]);
}
void inorder(int rt){if(rt == 0) return;inorder(tree[rt].cld[0]);printf("%c", tree[rt].id);inorder(tree[rt].cld[1]);
}
void postorder(int rt){if(rt == 0) return;postorder(tree[rt].cld[0]);postorder(tree[rt].cld[1]);printf("%c", tree[rt].id);
}
int main(){build(root);inorder(root);puts("");postorder(root);return 0;
}

end

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进击高手【第十期】树

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