经典算法题每日演练——第十题树状数组

原文:经典算法题每日演练——第十题树状数组

有一种数据结构是神奇的，神秘的，它展现了位运算与数组结合的神奇魅力，太牛逼的，它就是树状数组，这种数据结构不是神人是发现不了的。

一：概序

假如我现在有个需求，就是要频繁的求数组的前n项和，并且存在着数组中某些数字的频繁修改，那么我们该如何实现这样的需求？当然大家可以往

真实项目上靠一靠。

① 传统方法：根据索引修改为O(1)，但是求前n项和为O(n)。

②空间换时间方法：我开一个数组sum[]，sum[i]=a[1]+....+a[i]，那么有点意思，求n项和为O(1)，但是修改却成了O(N)，这是因为我的Sum[i]中牵

涉的数据太多了，那么问题来了，我能不能在相应的sum[i]中只保存某些a[i]的值呢？好吧，下面我们看张图。

从图中我们可以看到S[]的分布变成了一颗树，有意思吧，下面我们看看S[i]中到底存放着哪些a[i]的值。

S[1]=a[1];

S[2]=a[1]+a[2];

S[3]=a[3];

S[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4];

S[5]=a[5];

S[6]=a[5]+a[6];

S[7]=a[7];

S[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8];

之所以采用这样的分布方式，是因为我们使用的是这样的一个公式：S[i]=a[i-2^k+1]+....+a[i]。

其中：2^k 中的k表示当前S[i]在树中的层数，它的值就是i的二进制中末尾连续0的个数，2^k也就是表示S[i]中包含了哪些a[]，

举个例子: i=6₁₀=0110₂；可以发现末尾连续的0有一个，即k=1，则说明S[6]是在树中的第二层，并且S[6]中有2¹项，随后我们求出了起始项：

a[6-2¹+1]=a[5]，但是在编码中求出k的值还是有点麻烦的，所以我们采用更灵巧的Lowbit技术，即：2^k=i&-i 。

则：S[6]=a[6-2¹+1]=a[6-(6&-6)+1]=a[5]+a[6]。

二：代码

1:神奇的Lowbit函数

 1 #region 当前的sum数列的起始下标2         /// <summary>3         /// 当前的sum数列的起始下标4         /// </summary>5         /// <param name="i"></param>6         /// <returns></returns>7         public static int Lowbit(int i)8         {9             return i & -i;
10         }
11         #endregion

2:求前n项和

比如上图中，如何求Sum(6)，很显然Sum(6)=S₄+S_6，那么如何寻找S4呢？即找到6以前的所有最大子树，很显然这个求和的复杂度为logN。

 1         #region 求前n项和2         /// <summary>3         /// 求前n项和4         /// </summary>5         /// <param name="x"></param>6         /// <returns></returns>7         public static int Sum(int x)8         {9             int ans = 0;
10
11             var i = x;
12
13             while (i > 0)
14             {
15                 ans += sumArray[i - 1];
16
17                 //当前项的最大子树
18                 i -= Lowbit(i);
19             }
20
21             return ans;
22         }
23         #endregion

3：修改

如上图中，如果我修改了a[5]的值，那么包含a[5]的S[5]，S[6]，S[8]的区间值都需要同步修改,我们看到只要沿着S[5]一直回溯到根即可，

同样它的时间复杂度也为logN。

 1         public static void Modify(int x, int newValue)2         {3             //拿出原数组的值4             var oldValue = arr[x];5 6             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))7             {8                 //减去老值，换一个新值9                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;
10             }
11         }

最后上总的代码:

View Code

  1 using System;2 using System.Collections.Generic;3 using System.Linq;4 using System.Text;5 using System.Diagnostics;6 using System.Threading;7 using System.IO;8 9 namespace ConsoleApplication210 {11     public class Program12     {13         static int[] sumArray = new int[8];14 15         static int[] arr = new int[8];16 17         public static void Main()18         {19             Init();20 21             Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));22             Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));23 24             Console.WriteLine("修改A[1]的值为3");25             Modify(1, 3);26 27             Console.WriteLine("A数组的值:{0}", string.Join(",", arr));28             Console.WriteLine("S数组的值:{0}", string.Join(",", sumArray));29 30             Console.Read();31         }32 33         #region 初始化两个数组34         /// <summary>35         /// 初始化两个数组36         /// </summary>37         public static void Init()38         {39             for (int i = 1; i <= 8; i++)40             {41                 arr[i - 1] = i;42 43                 //设置其实坐标：i=1开始44                 int start = (i - Lowbit(i));45 46                 var sum = 0;47 48                 while (start < i)49                 {50                     sum += arr[start];51 52                     start++;53                 }54 55                 sumArray[i - 1] = sum;56             }57         }58         #endregion59 60         public static void Modify(int x, int newValue)61         {62             //拿出原数组的值63             var oldValue = arr[x];64 65             arr[x] = newValue;66 67             for (int i = x; i < arr.Length; i += Lowbit(i + 1))68             {69                 //减去老值，换一个新值70                 sumArray[i] = sumArray[i] - oldValue + newValue;71             }72         }73 74         #region 求前n项和75         /// <summary>76         /// 求前n项和77         /// </summary>78         /// <param name="x"></param>79         /// <returns></returns>80         public static int Sum(int x)81         {82             int ans = 0;83 84             var i = x;85 86             while (i > 0)87             {88                 ans += sumArray[i - 1];89 90                 //当前项的最大子树91                 i -= Lowbit(i);92             }93 94             return ans;95         }96         #endregion97 98         #region 当前的sum数列的起始下标99         /// <summary>
100         /// 当前的sum数列的起始下标
101         /// </summary>
102         /// <param name="i"></param>
103         /// <returns></returns>
104         public static int Lowbit(int i)
105         {
106             return i & -i;
107         }
108         #endregion
109     }
110 }

经典算法题每日演练——第十题树状数组相关推荐

经典算法题每日演练——第二十二题奇偶排序
原文:经典算法题每日演练--第二十二题奇偶排序这个专题因为各种原因好久没有继续下去了,MM吧...你懂的,嘿嘿,不过还得继续写下去,好长时间不写,有些东西有点生疏了, 这篇就从简单一点的一个&qu ...
经典算法题每日演练——第十九题双端队列
经典算法题每日演练--第十九题双端队列原文:经典算法题每日演练--第十九题双端队列话说大学的时候老师说妹子比工作重要~,工作可以再换,妹子这个...所以...这两个月也就一直忙着Fall in ...
经典算法题每日演练——第六题协同推荐SlopeOne 算法
原文:经典算法题每日演练--第六题协同推荐SlopeOne 算法相信大家对如下的Category都很熟悉,很多网站都有类似如下的功能,"商品推荐","猜你喜欢&quo ...
经典算法题每日演练——第七题 KMP算法
原文:经典算法题每日演练--第七题 KMP算法在大学的时候,应该在数据结构里面都看过kmp算法吧,不知道有多少老师对该算法是一笔带过的,至少我们以前是的, 确实kmp算法还是有点饶人的,如果说红黑树 ...
[打题集]小鱼比可爱（树状数组）
题目链接: https://www.luogu.com.cn/problem/P1428?contestId=59884 [题目描述] 人比人,气死人:鱼比鱼,难死鱼.小鱼最近参加了一个"比 ...
python 树状数组_【算法日积月累】19-高级数据结构：树状数组
树状数组能解决的问题树状数组,也称作"二叉索引树"(Binary Indexed Tree)或 Fenwick 树. 它可以高效地实现如下两个操作: 1.数组前缀和的查询: 2. ...
[蓝桥杯][算法提高VIP]分苹果（差分||树状数组）
题目描述小朋友排成一排,老师给他们分苹果. 小朋友从左到右标号1-N.有M个老师,每次第i个老师会给第Li个到第Ri个,一共Ri-Li+1个小朋友每人发Ci个苹果. 最后老师想知道每个小朋友有多少苹 ...
经典算法题每日演练——第二十四题梳排序
这篇再看看一个经典的排序,梳排序,为什么取名为梳,可能每个梳都有自己的gap吧,大梳子gap大一点,小梳子gap小一点. 上一篇我们看到鸡尾酒排序是在冒泡排序上做了一些优化,将单向的比较变成了双向,同 ...
经典算法题每日演练——第三题猴子吃桃
猴子第一天摘下若干个桃子,当即吃了一半,还不过瘾就多吃了一个.第二天早上又将剩下的桃子吃了一半,还是不过瘾又多吃了一个.以后每天都吃前一天剩下的一半再加一个.到第10天刚好剩一个.问猴子第一天摘了多 ...

经典算法题每日演练——第十题树状数组

经典算法题每日演练——第十题树状数组相关推荐

最新文章

热门文章

经典算法题每日演练——第十题 树状数组

经典算法题每日演练——第十题 树状数组相关推荐

最新文章

热门文章

经典算法题每日演练——第十题树状数组

经典算法题每日演练——第十题树状数组相关推荐