[luogu P2521] [HAOI2011]防线修建

题目描述

近来A国和B国的矛盾激化，为了预防不测，A国准备修建一条长长的防线，当然修建防线的话，肯定要把需要保护的城市修在防线内部了。可是A国上层现在还犹豫不决，到底该把哪些城市作为保护对象呢？又由于A国的经费有限，所以希望你能帮忙完成如下的一个任务：

1. 给出你所有的A国城市坐标

2. A国上层经过讨论，考虑到经济问题，决定取消对i城市的保护，也就是说i城市不需要在防线内了

3. A国上层询问对于剩下要保护的城市，修建防线的总经费最少是多少

你需要对每次询问作出回答。注意单位1长度的防线花费为1。

A国的地形是这样的，形如下图，x轴是一条河流，相当于一条天然防线，不需要你再修建

A国总是有两个城市在河边，一个点是(0,0)，一个点是(n,0)，其余所有点的横坐标均大于0小于n，纵坐标均大于0。A国有一个不在(0,0)和(n,0)的首都。(0,0),(n,0)和首都这三个城市是一定需要保护的。

（别瞅了，luogu没有图）

输入输出格式

输入格式：

第一行，三个整数n,x,y分别表示河边城市和首都是(0,0)，(n,0)，(x,y)。

第二行，一个整数m。

接下来m行，每行两个整数a,b表示A国的一个非首都非河边城市的坐标为(a,b)。

再接下来一个整数q，表示修改和询问总数。

接下来q行每行要么形如1 i，要么形如2，分别表示撤销第i个城市的保护和询问。

输出格式：

对于每个询问输出1行，一个实数v，表示修建防线的花费，保留两位小数

输入输出样例

输入样例#1： 复制

4 2 1
2
1 2
3 2
5
2
1 1
2
1 2
2

输出样例#1： 复制

6.47
5.84
4.47

说明

数据范围：

30%的数据m<=1000,q<=1000

100%的数据m<=100000,q<=200000,n>1

所有点的坐标范围均在10000以内, 数据保证没有重点

想了好久，也码了好久。刚开始没有想到时光倒流，往cdq去想了。平衡树也很难操作。

最后看了发题解——艹，怎么又没想到时光倒流！

时光倒流以后，就相当于维护一个支持单点更新的上凸包，并求周长-n。

还好题目限制好了，不然要烦死、、

那我们采取这样的方法：

插入一个点时，先判断在不在凸包内。如果不在，则向两边维护一个凸包，直到不能删点或者符合一个凸包时停止。

其中判断是否在凸包内，通过找两个点，一个前驱，一个后缀，都在凸包边上。

其中，设当前插入点为c，前缀为u，后缀为v，满足u.x<c.x||u.x==c.x&&u.y<c.y，v.x>c.x||v.x==c.x&&v.y>c.y。

如果cross(c-u,v-u)>0（cross表示两个向量叉积），则说明c在凸包内。

否则向两边维护更新凸壳。

根据对称性，我们只取向左边的进行研究。

设u为凸包上c的前缀，v为凸包上u的前缀。

当然如果u(0,0)，那么就退出了，(0,0)是不能删的。

否则如果cross(c-v,u-v)>0，则维护好了，退出，否则就删了u，继续。

至此，维护单点更新成功了，且复杂度正确，因为，每个点最多插入一次，删除一次。

其中求pre，suc可以看做是连带的，换句话说，次数和删除操作次数差不多（倍数在常数级）。

这里的复杂度大致就是nlogn基本的。

但是同样，我们会有一个棘手的问题->计算周长。

如果每次找凸包上每个点的前驱后缀计算感觉会很慢，也很难写。

如果我们在删点，加点时就计算，是不是就比较快呢？

不过要注意，不要漏删一条边或多加一条边，细节还是有点的。

还有，其中前驱后缀插入删除都是平衡树的操作。

(splay比stl快?无意抢了luogu'rank1，233)

code：

  1 #include <cstdio>
  2 #include <cstring>
  3 #include <algorithm>
  4 #include <cmath>
  5 #define ms(a,x) memset(a,x,sizeof a)
  6 using namespace std;
  7
  8 void OJ() {
  9     #ifndef ONLINE_JUDGE
 10         freopen("in.txt","r",stdin);
 11         freopen("out.txt","w",stdout);
 12     #endif
 13 }
 14 namespace fastIO {
 15     #define gec(c) getchar(c)
 16     #define puc(c) putchar(c)
 17     char ch;
 18     inline int read() {
 19         int x=0,f=1; ch=getchar();
 20         while (ch<'0'||ch>'9') {
 21             if (ch=='-') f=-f;
 22             ch=gec();
 23         }
 24         while (ch>='0'&&ch<='9') {
 25             x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';
 26             ch=getchar();
 27         }
 28         return x*f;
 29     }
 30 } using namespace fastIO;
 31
 32 const int N=200005;
 33 int n,m,q,las;
 34 bool vis[N]; double ans[N];
 35 struct query {
 36     int t,x;
 37 } o[N];
 38
 39 #define SplayTree node
 40 struct SplayTree {
 41     int X,Y;
 42     node* c[3];
 43     node () {
 44         X=Y=0;
 45         c[0]=c[1]=c[2]=0;
 46     }
 47 } * ro,* g,* U,* V,* re;
 48
 49 #define vec city
 50 struct city {
 51     int x,y;
 52     city () {}
 53     city (int _x,int _y) :
 54         x(_x),y(_y) {};
 55     city (node* u) :
 56         x(u->X),y(u->Y) {};
 57 } a[N];
 58 int cross (vec u,vec v) {
 59     return u.x*v.y-u.y*v.x;
 60 }
 61 vec operator - (city u,city v) {
 62     return vec(u.x-v.x,u.y-v.y);
 63 }
 64 node* noded (city u) {
 65     node* rt=new node();
 66     rt->X=u.x,rt->Y=u.y;
 67     return rt;
 68 }
 69 void setup (node* &x,int X,int Y) {
 70     x=new node(),x->X=X,x->Y=Y;
 71 }
 72 bool dir (node* x) {
 73     if (!x->c[2]) return 0;
 74     return x->c[2]->c[1]==x;
 75 }
 76 void linknode (node* y,node* x,bool p) {
 77     if (x) x->c[2]=y;
 78     if (y) y->c[p]=x;
 79 }
 80 void rotate (node* x) {
 81     bool p=dir(x); node* y=x->c[2];
 82     linknode(y->c[2],x,dir(y));
 83     linknode(y,x->c[p^1],p);
 84     linknode(x,y,p^1);
 85 }
 86 void splay (node* x,node* an) {
 87     if (x->c[2]==an) return;
 88     while (x->c[2]!=an) {
 89         if (x->c[2]->c[2]==an) {
 90             rotate(x);
 91             if (!an) ro=x;
 92             return;
 93         }
 94         rotate(dir(x)^dir(x->c[2])?x:x->c[2]);
 95         rotate(x);
 96     }
 97     if (!an) ro=x;
 98 }
 99 bool cmp (node* u,node* v) {
100     return u->X==v->X?u->Y<v->Y:u->X<v->X;
101 }
102 void insert (node* &x,node* u) {
103     if (!x) {
104         g=x=u;
105         return;
106     }
107     bool p=cmp(x,u);
108     insert(x->c[p],u),x->c[p]->c[2]=x;
109 }
110 void erase (node* u) {
111     splay(u,0);
112     if (!ro->c[0]||!ro->c[1]) {
113         if (ro->c[0]) ro=ro->c[0],ro->c[2]=0; else
114         if (ro->c[1]) ro=ro->c[1],ro->c[2]=0; else
115         ro=0;
116         return;
117     }
118     for (re=ro->c[0]; re->c[1]; re=re->c[1]) ;
119     splay(re,ro);
120     re->c[2]=0,re->c[1]=ro->c[1];
121     if (re->c[1]) re->c[1]->c[2]=re;
122     ro=re;
123 }
124 bool cmp_1 (node* u,node* v) {
125     return u->X==v->X?u->Y<v->Y:u->X<v->X;
126 }
127 bool cmp_2 (node* u,node* v) {
128     return u->X==v->X?u->Y>v->Y:u->X>v->X;
129 }
130 void pre (node* x,node* u) {
131     if (!x) return;
132     if (cmp_1(x,u)) re=x,pre(x->c[1],u);
133     else pre(x->c[0],u);
134 }
135 void suc (node* x,node* u) {
136     if (!x) return;
137     if (cmp_2(x,u)) re=x,suc(x->c[0],u);
138     else suc(x->c[1],u);
139 }
140 #define sqr(x) ((x)*(x))
141 double dis (node* u,node* v) {
142     return sqrt(sqr(u->X-v->X)+sqr(u->Y-v->Y));
143 }
144 void maintain () {
145     pre(ro,g),U=re,suc(ro,g),V=re;
146     if (cross(city(g)-city(U),city(V)-city(U))>0) return;
147     if (U->X!=0||U->Y!=0||V->X!=n||V->Y!=0) ans[0]-=dis(U,V);
148     for ( ; ; ) {
149         pre(ro,g),U=re;
150         if (U->X==0&&U->Y==0) {
151             ans[0]+=dis(g,U);
152             break;
153         }
154         pre(ro,U),V=re;
155         if (cross(city(g)-city(V),city(U)-city(V))>0) {
156             ans[0]+=dis(g,U);
157             break;
158         }
159         ans[0]-=dis(U,V);
160         erase(U);
161     }
162     for ( ; ; ) {
163         suc(ro,g),U=re;
164         if (U->X==n&&U->Y==0) {
165             ans[0]+=dis(g,U);
166             break;
167         }
168         suc(ro,U),V=re;
169         if (cross(city(g)-city(V),city(U)-city(V))<0) {
170             ans[0]+=dis(g,U);
171             break;
172         }
173         ans[0]-=dis(U,V);
174         erase(U);
175     }
176     insert(ro,g);
177     splay(g,0);
178 }
179
180 int main() {
181     OJ();
182     n=read(),a[0].x=read(),a[0].y=read();
183     m=read(),a[m+1]=city(0,0),a[m+2]=city(n,0);
184     for (int i=1; i<=m; ++i) {
185         a[i].x=read(),a[i].y=read();
186     }
187     ms(vis,1);
188     q=read();
189     for (int i=1; i<=q; ++i) {
190         o[i].t=read();
191         if (o[i].t&1) o[i].x=read();
192         vis[o[i].x]=0;
193     }
194     ro=0;
195     insert(ro,noded(a[0]));
196     insert(ro,noded(a[m+1]));
197     insert(ro,noded(a[m+2]));
198     ans[0]=dis(noded(a[0]),noded(a[m+1]))+dis(noded(a[0]),noded(a[m+2]));
199     for (int i=1; i<=m; ++i) {
200         if (vis[i]) g=noded(a[i]),maintain();
201     }
202     for (int i=q; i; --i) {
203         if (o[i].t&1) g=noded(a[o[i].x]),maintain();
204         else ans[i]=ans[0];
205     }
206     for (int i=1; i<=q; ++i) {
207         if (~o[i].t&1) printf("%.2lf\n",ans[i]);
208     }
209     return 0;
210 }

View Code