[质因数分解]樱花洛谷P1445

题目背景

又到了一年樱花盛开的时节。Vani 和妹子一起去看樱花的时候，找到了一棵大大的樱花树，上面开满了粉红色的樱花。Vani 粗略估计了一下，一共有足足 n! 片花瓣。

Vani 轻柔地对她说：“你知道吗？这里面的一片花瓣代表着你，我从里面随机摘一片，能和你相遇的概率只有 1/n! 那么小。我该是多么的幸运，才让你今天这么近地站在我面前。相信我，我一定会把这亿万分之一的缘分变为永远。”

粉红的樱花漫天飞舞，妹子瞬间被 Vani 感动了。她轻轻地牵起了他的手，和他相依而坐。这时，她突然看到田野的尽头也长着两棵樱花树，于是慢慢地把头靠在 Vani 的肩上，在他耳边低语：“看到夕阳里的那两棵樱花树了吗？其中一棵树上的一片花瓣是你，另一棵树上的一片花瓣是我，如果有人从这棵摘下一片，从那棵采下一瓣，我们相遇的概率会不会正好是 1/n! 呢？”

Vani 的大脑飞速运作了一下，立即算出了答案。正要告诉妹子，她突然又轻轻地说：“以前你总是说我数学不好，但是这种简单的题我还是会算的。你看假如左边那棵树上有 x 片花瓣，右边那个有 y 片花瓣，那么我们相遇的概率不就是 1/x+1/y 么，不过有多少种情况能使它正好可以等于 1/n! 呢？这个你就帮我算一下吧～”

显然，面对天然呆的可爱妹子，Vani 不但不能吐槽她的渣数学，而且还要老老实实地帮她算出答案哦。

题目描述

求方程：

1/x+1/y=1/n!

的正整数解的组数，答案对 10^9+7 取模。

输入格式

输入只有一行一个整数，表示 n。

输出格式

输出一行一个整数表示正整数解的组数模 10^9+7 的值。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

输入 #2

输出 #2

102426508

说明/提示

样例 1 解释

共有三个数对 (x,y) 满足条件，分别是 (3,6),(4,4) 和 )(6,3)。

数据规模与约定

对于 30% 的数据，保证 n≤100 。
对于 100% 的数据，保证 1≤n≤10^6。

题意： 给出n，求能使1/x + 1/y = 1/n!的正整数对(x, y)的个数。

分析： 对1/x + 1/y = 1/n!进行化简可以得到-(x+y)*n!+x*y = 0，此时等号两边同时加(n!)^2来凑出因式分解，这样得到(n!-x)*(n!-y) = (n!)^2，由于n!是一个定值，只要求出符合上式的x个数就是最终答案数，而这样的x个数其实就是n!-x的个数，而n!-x的个数就是(n!)^2的因子个数，通过质因数分解就可以得到这个个数。要注意质因数分解n!时要用提前筛出来的质数分解，不然一定会TLE的。

具体代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <string>
using namespace std;
//等价变形为(n!)^2 = (x-n!)*(y-n!)
const int mod = 1e9+7;
int prime[10005], n, num[1000005], cnt;
bool is_prime[10005];void get(){memset(is_prime, true, sizeof is_prime);for(int i = 2; i <= 10004; i++)if(is_prime[i]){prime[++cnt] = i;for(int j = 2; j*i <= 10004; j++)is_prime[i*j] = false;}}signed main()
{get();cin >> n;//枚举(n!)^2的质因子 for(int i = 2; i <= n; i++){int temp = i;for(int j = 1; prime[j]*prime[j] <= temp; j++){while(temp%prime[j] == 0){num[prime[j]] += 2;//因为是(n!)^2，所以要加2 temp/=prime[j];}}if(temp)num[temp] += 2;}long long ans = 1;for(int i = 2; i <= n; i++)if(num[i])ans = ans*(num[i]+1)%mod;cout << ans;return 0;
}