二次型相似对角化的原因

二次型之所以要放置为对称矩阵进而相似对角化一般是为了求解二次型方程。

如有一个二次型f(x₁,x₂,x₃),要求解二次型方程f(x₁,x₂,x₃)=0。

一般来说，我们求解多元方程最先尝试的方法就是配方，当你配方出一个简便的形式时，这个方程就能被轻易地解开。而相似对角化实际上就是一个配方过程，就作用来说，它和拉格朗日配方法是完全等价的。

若 f(x₁,x₂,x₃) 对应的对称矩阵为A，则求 f(x₁,x₂,x₃)=0 即为求解 x^TAx=0。
（对称矩阵这里稍微说一下：非对称矩阵也可能表示出一个二次型，但是我们不把它当做二次型对应的矩阵，所以说到二次型对应的矩阵，必定是一个对称阵）

若有P^-1AP=B
（B为对角阵，主对角元素为特征值，设为λ₁、λ₂、λ₃。）
（P为特征向量对应B中特征值顺序列放置并正交化后的矩阵。）

此时对B来说，它对应的方程λ₁y²+λ₂y²+λ₃y²=0的解是易得的

如若λ₁≠λ₂≠λ₃≠0，则Y=（y₁,y₂,y₃）^T只有唯一解，即（0,0,0）^T

若λ₁=0；λ₂、λ₃≠0，则Y=（y₁,y₂,y₃）^T有解为（k,0,0）^T

此时必存在线性变换P使得X=（x₁,x₂,x₃）^T=PY

故得到（x₁,x₂,x₃）^T 的解为 P（y₁,y₂,y₃）^T

二次型相似对角化的原因相关推荐

线代 | 【提神醒脑】自用笔记串联三 —— 相似对角化 · 二次型 · 合同变换
本文总结参考于 kira 2023 线代提神醒脑技巧班. 笔记均为自用整理.加油!ヾ(◍°∇°◍)ﾉﾞ九.相似对角化 9.1.矩阵相似的性质 ---------------------------- ...
线性代数学习笔记11-2：总复习Part2（相似对角化、对称矩阵、奇异值分解SVD）
下面的一系列分解,涉及了线性代数中的各个重要知识点: 关于求解方程组的分解: Ch1[矩阵乘法角度] 矩阵 A \mathbf A A=列向量矩阵 C \mathbf C C和行向量矩阵 R \mat ...
实对称矩阵的性质_浅谈矩阵的相似对角化（一）
森屿瑾年:浅谈线性变换和矩阵之间的关系zhuanlan.zhihu.com 通过前面的讨论,我们引出了线性变换在不同基下的矩阵之间的关系,知道了线性变换在不同基下的矩阵是相似的,进而我们可以通过选取 ...
二次型、特征值/向量、奇异值、特征值、奇异值分解、奇异值分解(SVD)原理与在降维中的应用
一.二次型通过矩阵来研究二次函数(方程),这就是线性代数中二次型的重点. 1 二次函数(方程)的特点 1.1 二次函数最简单的一元二次函数就是: 给它增加一次项不会改变形状: 增加常数项就更不用说 ...
线性代数(六)——二次型
文章目录前言二次型是什么? 二次型的表示合同矩阵与合同二次型正定二次型.正定矩阵二次型的题型前言一直对二次型和线性代数的关系不解,导致一系列的知识点因为没有理解而常常忘记. 在这里对二次 ...
【原创】【理论+题型】二次型化标准型 +合同
(A)二次型化标准型2方法对比 1任何二次型都能化为标准,有正交变换法和配方法 2任何二次型都能通过配方法变为标准型,但不一定能通过正交变化法变 3二次型的规范型唯一,标准型不唯一 4实对称阵的(合同 ...
线性代数学习笔记8-4：正定矩阵、二次型的几何意义、配方法与消元法的联系、最小二乘法与半正定矩阵A^T A
正定矩阵Positive definite matrice 之前说过,正定矩阵是一类特殊的对称矩阵: 正定矩阵满足对称矩阵的特性(特征值为实数并且拥有一套正交特征向量.正 / 负主元的数目等于正 / ...
用正交变换将二次型化为标准形
用正交变换将二次型化为标准形用正交变换将二次型化为标准形是数学三考研中的重要题型,它综合考察了学生对二次型理论.相似对角化理论.欧式空间理论掌握的熟练程度.解题过程要用到写二次型的矩阵.求矩阵的特征 ...
JS Uncaught SyntaxError:Unexpected identifier异常报错原因及其解决方法
最近在写ajax的时候,调用js方法,遇到了Uncaught SyntaxError:Unexpected identifier异常报错,开始搞不清原因,很苦恼. 以为是js方法参数个数和长度的问题, ...
java.lang.NullPointerException异常原因及解决
java.lang.NullPointerException异常原因是因为创建了一个引用类型的变量却没有指向任何对象而又去通过这个引用类型变量加点的形式去访问非静态的方法及属性. 给出三种情况, 第一 ...

二次型相似对角化的原因

二次型相似对角化的原因

二次型相似对角化的原因相关推荐

最新文章

热门文章