R语言使用马尔可夫链Markov Chain, MC来模拟抵押违约

这篇文章的目的是将我在夜班学习的材料与我的日常工作和R相结合。

如果我们有一些根据固定概率随时间在状态之间切换的对象，我们可以使用马尔可夫链 * 来模拟该对象的长期行为。

一个很好的例子是抵押贷款。在任何给定的时间点，贷款都有违约概率，保持最新付款或全额偿还。总的来说，我们将这些称为“转移概率”。假设这些概率在贷款期限内是固定的**。

举个例子，我们将看一下传统的固定利率30年期抵押贷款。让我们假设每个当前贷款的时间T有75％的可能性保持最新，10％的违约机会，15％的机会在T + 1时间内获得回报。这些转换概率在上图中列出。显然，一旦贷款违约或获得偿还，它将保持默认或支付。我们称这些国家为“吸收国家”。

由于我们知道转移概率，我们所需要的只是贷款的初始分配，我们可以预测在30年期间任何给定点的每个州的贷款百分比。假设我们从T = 0开始，有100个当前贷款，0个违约和已付清贷款。在时间T + 1，我们知道（根据我们的转换概率），这100个中的75个将保持最新的付款。但是，15笔贷款将被清偿，10笔贷款将被违约。由于我们假设转移概率在贷款期限内是不变的，我们可以用它们来查找当前贷款的时间t = 2。在目前T + 1的75笔贷款中，56.25笔贷款将保持在T + 2当前（自75 * .75 = 56.25）。

如果我们重复这个过程28次（在发布的代码中完成）并绘制点，我们得到上面绘制的时间序列。30年后，目前没有贷款（因为它们都是30年期贷款）。他们都得到了回报或违约，更多的贷款得到了支付而不是违约。

*使用马尔可夫链来模拟抵押贷款有许多缺点。这个模型假设我在我的例子中使用的所有100个贷款的转移概率是相同的。实际上，贷款并不相同（例如，借入一笔贷款的信用评分可能比另一笔贷款高得多。这种差异会使前者的违约机会低很多），而且转移概率在贷款的整个生命周期中并不是一成不变的（例如如果利率在贷款期限中途暴跌，那么自借款人以较低的利率再融资以来，贷款将会大幅减少的可能性。简而言之，没有人真正使用这个模型，因为它太原始了。然而，有趣的是，我确实将我的情节曲线与我在工作中的经验数据进行了比较，结果非常相似。

在工业中，生存分析最常用于模拟贷款（通常使用逻辑回归与面板数据或比例风险模型实施）。这是生物统计学和经济学的有趣结合。当人们将生物统计学术语应用于抵押贷款来讨论单月死亡率（每月预付概率），危险或生存函数（即我的图表中的蓝线）时，这一点尤其有趣。

**在这种情况下，这些概率可以是“危险率”。例如，违约的危险是贷款违约时间T + 1的概率，因为它在时间T中存活了。这是不同的从违约概率。前者是条件概率而后者不是。

***出于数学原因，我们在技术上不需要初始条件，因为时间是一种稀缺资源，我不会介入。

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