copula建模边缘和相依关系

给定一些边缘分布函数和一个copula，那么我们可以生成一个多元分布函数，其中的边缘是前面指定的。

考虑一个二元对数正态分布


> library(mnormt)
> set.seed(1)
> Z=exp(rmnorm(25,MU,SIGMA))

我们可以从边缘分布开始。

meanlog      sdlog  1.168          0.930 (0.186 )       (0.131 )meanlog      sdlog  2.218        1.168 (0.233 )     (0.165 )

基于这些边缘分布，并考虑从该伪随机样本获得的copula参数的最大似然估计值，从数值上讲，我们得到


> library(copula)> Copula() estimation based on 'maximum likelihood'
and a sample of size 25.Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
rho.1  0.86530    0.03799   22.77

但是，由于相依关系是边缘分布的函数，因此我们没有对相依关系进行单独处理。如果考虑全局优化问题，则结果会有所不同。可以得出密度


> optim(par=c(0,0,1,1,0),fn=LogLik)$par
[1] 1.165  2.215 0.923  1.161  0.864

差别不大，但估计量并不相同。从统计的角度来看，我们几乎无法分别处理边缘和相依结构。我们应该记住的另一点是，边际分布可能会错误指定。例如，如果我们假设指数分布，


fitdistr(Z[,1],"exponential") rate   0.222 (0.044 )
fitdistr(Z[,2],"exponential" rate   0.065  (0.013 )

高斯copula的参数估计


Copula() estimation based on 'maximum likelihood'
and a sample of size 25.Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
rho.1  0.87421    0.03617   24.17   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
The maximized loglikelihood is  15.4
Optimization converged

由于我们错误地指定了边缘分布，因此我们无法获得统一的边缘。如果我们使用上述代码生成大小为500的样本，


barplot(counts, axes=FALSE,col="light blue"

如果边缘分布被很好地设定时，我们可以清楚地看到相依结构依赖于边缘分布，

copula模拟股市中相关随机游走

接下来我们用copula函数模拟股市中的相关随机游走

 #*****************************************************************# 载入历史数据#****************************************************************** load.packages('quantmod')data$YHOO = getSymbol.intraday.google('YHOO', 'NASDAQ', 60, '15d')data$FB = getSymbol.intraday.google('FB', 'NASDAQ', 60, '15d')bt.prep(data, align='remove.na')#*****************************************************************# 生成模拟#****************************************************************** rets = diff(log(prices))# 绘制价格matplot(exp(apply(rets,2,cumsum)), type='l')

# 可视化分布的辅助函数# 检查Copula拟合的Helper函数# 模拟图与实际图plot(rets[,1], rets[,2], xlab=labs[1], ylab=labs[2], col='blue', las=1)points(fit.sim[,1], fit.sim[,2], col='red')# 比较模拟和实际的统计数据temp = matrix(0,nr=5,nc=2)print(round(100*temp,2))               # 检查收益率是否来自相同的分布for (i in 1:2) {print(labs[i])print(ks.test(rets[,i], fit.sim[i]))# 绘制模拟价格路径matplot(exp(apply(fit.sim,2,cumsum)), type='l', main='Simulated Price path')# 拟合Copulaload.packages('copula')

# 通过组合拟合边缘和拟合copula创建自定义分布
margins=c("norm","norm")
apply(rets,2,function(x) list(mean=mean(x), sd=sd(x)))# 从拟合分布模拟
rMvdc(4800, fit)

     Actual  Simulated
Correlation 57.13   57.38
Mean FB -0.31   -0.47
Mean YHOO   -0.40   -0.17
StDev FB    1.24    1.25
StDev YHOO  1.23    1.23

   Two-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  rets[, i] and fit.sim[i]
D = 0.9404, p-value = 0.3395
alternative hypothesis: two-sided

   Two-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  rets[, i] and fit.sim[i]
D = 0.8792, p-value = 0.4222
alternative hypothesis: two-sided

 visualize.rets(fit.sim)

 # qnorm(runif(10^8)) 和 rnorm(10^8) 是等价的uniform.sim = rCopula(4800, gumbelCopula(gumbel@estimate, dim=n))

     Actual  Simulated
Correlation 57.13   57.14
Mean FB -0.31   -0.22
Mean YHOO   -0.40   -0.56
StDev FB    1.24    1.24
StDev YHOO  1.23    1.21

   Two-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  rets[, i] and fit.sim[i]
D = 0.7791, p-value = 0.5787
alternative hypothesis: two-sided

   Two-sample Kolmogorov-Smirnov testdata:  rets[, i] and fit.sim[i]
D = 0.795, p-value = 0.5525
alternative hypothesis: two-sided

 vis(rets)

标准偏差相对于均值而言非常大，接近于零；因此，在某些情况下，我们很有可能获得不稳定的结果。

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