豪斯多夫（Hausdorff）距离

一、定义

给定欧氏空间中的两点集 A={a1,a2,...},B={b1,b2,...}A= \{a_1,a_2,...\},B= \{b_1,b_2,...\}A={a1,a2,...},B={b1,b2,...} ，豪斯多夫（Hausdorff）距离就是用来衡量这两个点集间的距离。定义公式如下：
H(A,B)=max⁡[h(A,B),h(B,A)]H(A,B)=\max[h(A,B),h(B,A)] H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]其中，
h(A,B)=max⁡a∈Amin⁡b∈B∣∣a−b∣∣h(B,A)=max⁡b∈Bmin⁡a∈A∣∣b−a∣∣h(A,B)=\max_{a\in A}\min_{b\in B} ||a-b||\\ h(B,A)=\max_{b\in B}\min_{a\in A} ||b-a|| h(A,B)=a∈Amaxb∈Bmin∣∣a−b∣∣h(B,A)=b∈Bmaxa∈Amin∣∣b−a∣∣
H(A,B)H(A,B)H(A,B) 称为双向 Hausdorff 距离， h(A,B)h(A,B)h(A,B) 称为从点集A到点集B的单向 Hausdorff 距离。相应地 h(B,A)h(B,A)h(B,A) 称为从点集B到点集A的单向 Hausdorff 距离。

二、例子

下面从一个例子来理解 Hausdorff 距离：

上图中，给出了 A,B,C,D 四条路径，其中路径 A 具体为（16-17-18-19-20），路径 B 具体为（1-2-3-4-9-10）。要求 Hausdorff 距离 H(A,B)H(A,B)H(A,B)，则需要先求出单向 Hausdorff 距离 h(A,B)h(A,B)h(A,B) 和 h(B,A)h(B,A)h(B,A)。

对于h(A,B)h(A,B)h(A,B)，以 A 中的点 16 为例，在路径 B中的所有点中，距离点 16 最近的是点 1 ，距离为 3。即： min⁡b∈B∣∣a(16)−b∣∣=3\min_{b\in B} ||a_{(16)}-b||=3b∈Bmin∣∣a(16)−b∣∣=3

同理由图可得：
min⁡b∈B∣∣a(17)−b∣∣=3min⁡b∈B∣∣a(18)−b∣∣=3min⁡b∈B∣∣a(19)−b∣∣=2min⁡b∈B∣∣a(20)−b∣∣=2\min_{b\in B} ||a_{(17)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(18)}-b||=3\\ \min_{b\in B} ||a_{(19)}-b||=2\\ \min_{b\in B} ||a_{(20)}-b||=2\\ b∈Bmin∣∣a(17)−b∣∣=3b∈Bmin∣∣a(18)−b∣∣=3b∈Bmin∣∣a(19)−b∣∣=2b∈Bmin∣∣a(20)−b∣∣=2
在它们中，值最大的为 3，故 h(A,B)=3h(A,B)=3h(A,B)=3 。

同理可得，h(B,A)=4h(B,A)=4h(B,A)=4 。

所以 H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]=4H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]=4H(A,B)=max[h(A,B),h(B,A)]=4 。

同理可求出上图中四条路径间的单向 Hausdorff 距离如下表所示：

三、性质

双向 Hausdorff 距离 H(A,B)H(A,B)H(A,B) 是单向 Hausdorff 距离 h(A,B)h(A,B)h(A,B) 和 h(B,A)h(B,A)h(B,A) 两者中较大者，显然它度量了两个点集间的最大不匹配程度。

如上图，当 A 和 B 都是闭集的时候，Hausdorff 距离满足度量的三个定理：

H(A,B)≥0H(A,B)\geq0H(A,B)≥0 ，当且仅当 A=BA=BA=B 时，H(A,B)=0H(A,B)=0H(A,B)=0
H(A,B)=H(B,A)H(A,B)=H(B,A)H(A,B)=H(B,A)
H(A,B)+H(B,C)≥H(A,C)H(A,B) + H(B,C)\geq H(A,C)H(A,B)+H(B,C)≥H(A,C)

若凸集 A,BA,BA,B 满足 A⊄BA\not\subset BA⊂B 且 B⊄AB\not\subset AB⊂A，并记 ∂A，∂B\partial A，\partial B∂A，∂B 分别为 A,BA,BA,B 边界的点集合，则 A,BA,BA,B 的 Hausdorff 距离等于 ∂A，∂B\partial A，\partial B∂A，∂B 的 Hausdorff 距离。
Hausdorff 距离易受到突发噪声的影响。

当图像受到噪声污染或存在遮挡等情况时，原始的 Haudorff 距离容易造成误匹配。所以，在1933年，Huttenlocher 提出了部分 Hausdorff 距离的概念。
简单地说，包含 qqq 个点的集合 BBB 与集合 AAA 的部分 Hausdorff 距离就是选取 BBB 中的 K(K≥1且K≤q)K(K\geq1且K\leq{q})K(K≥1且K≤q) 个点，然后求这 KKK 个点到 AAA 集合的最小距离，并排序，则排序后的第 KKK 个值就是集合 BBB 到集合 AAA 的部分单向 Hausdorff 距离。定义公式如下：
hK(A,B)=Kthmax⁡a∈Amin⁡b∈B∣∣a−b∣∣h_K(A,B)=K^{th} \max_{a\in A}\min_{b\in B}||a-b|| hK(A,B)=Ktha∈Amaxb∈Bmin∣∣a−b∣∣
相应地，部分双向 Hausdorff 距离定义为：
HK(A,B)=max⁡[hK(A,B),hK(B,A)]H_K(A,B)=\max[h_K(A,B),h_K(B,A)] HK(A,B)=max[hK(A,B),hK(B,A)]

参考：

https://www.cnblogs.com/xlz10/p/3929119.html