最小生成树（Kruskal、Prim）

Kruskal算法

思想：利用并查集，进行加边操作（每次选择最小权边，直至构成一个生成树）

步骤：

（1）排序：由小到大对边按权值进行排序

（2）当边的数量少于n-1时，重复以下操作：

选择最小权边，如果假如这条权边并不构成回路，那么添加它，否则不添加它

代码模板：

const int MAXN=110;//最大点数
const int MAXM=10000;//最大边数
int F[MAXN];//并查集使用
struct Edge
{int u,v,w;
}edge[MAXM];//存储边的信息，包括起点/终点/权值
int tol;//边数，加边前赋值为0
void addedge(int u,int v,int w)
{ edge[tol].u=u;edge[tol].v=v;edge[tol++].w=w;}
bool cmp(Edge a,Edge b)
{//排序函数，讲边按照权值从小到大排序 return a.w<b.w;
}
int find(int x)
{if(F[x]==-1)return x;elsereturn F[x]=find(F[x]);
}
int Kruskal(int n)//传入点数，返回最小生成树的权值，如果不连通返回-1
{memset(F,-1,sizeof(F));sort(edge,edge+tol,cmp);int cnt=0;//计算加入的边数int ans=0;for(int i=0;i<tol;i++){int u=edge[i].u;int v=edge[i].v;   int w=edge[i].w;   int t1=find(u);   int t2=find(v);   if(t1!=t2)   {ans+=w;F[t1]=t2;cnt++;}if(cnt==n-1)break;}if(cnt<n-1)return -1;//不连通 else return ans;
}

Prim算法

思想：

从只含一个结点的子图开始构造生成树：

选择连接当前子图和子图外结点的最小权边，将对应结点和边加入子图，直至将所有结点加入子图。

步骤：

1.一个n-1次的循环更新距离数组，存储从起始点到各结点距离，并更改原点和标记数组

2.下面要加入n-1个点，对每次添加，都需要在剩下点中考虑（n个点，没有访问标记的）

3.当然如果某次添加，发现并没有点满足条件，直接跳出返回-1即可

4.每一次添加点后，都需要及时更新一下距离数组

模板：

const int INF=0x3f3f3f3f;
const int MAXN=110;
bool vis[MAXN];
int lowc[MAXN];
int Prim(int cost[][MAXN],int n)//点是0~n-1
{int ans=0;memset(vis,false,sizeof(vis));vis[0]=true;for(int i=1; i<n; i++)lowc[i]=cost[0][i];for(int i=1; i<n; i++){int minc=INF;int p=-1;for(int j=0; j<n; j++)if(!vis[j]&&minc>lowc[j]){minc=lowc[j];p=j;}if(minc==INF)return -1;//原图不连通ans+=minc;vis[p]=true;for(int j=0; j<n; j++)if(!vis[j]&&lowc[j]>cost[p][j])lowc[j]=cost[p][j];}return ans;
}

注意事项

Prim算法时间复杂度是 $O(n^{3})$ ，与图中的边数无关，因此适用于求边稠密的图的最小生成树。

Kruskal算法的时间复杂度是 $O(elog(e))$ （e是图中边的数目），适合求边稀疏的图的最小生成树。

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