两道类似的概率期望题目

前几周的模拟赛才遇到过类似的套路，现在在 AT 上遇到又不会了……于是都记录一下。

其实写完之后还是感觉不太能熟练运用……，可能需要多做题做理解。

【XSY4214】quq

题面：http://192.168.102.138/JudgeOnline/problem.php?cid=1818&pid=2

题解：

设 m=max⁡aim=\max a_im=maxai，即编号最大的可能被扭到的蛋。

首先先将扭蛋机按 aia_iai 从小到大排序。先考虑最优策略是什么，设 bib_ibi 表示 ≥i\geq i≥i 的最小的 aaa 值，那么假设现在还未扭到的蛋的集合是 SSS，其中编号最大的是 maxidmaxidmaxid，那么我们选的扭蛋机大小肯定是 bmaxidb_{maxid}bmaxid。感性理解就是扭编号大的扭蛋时也有可能扭到编号小的扭蛋，而扭编号小的扭蛋时不可能扭到编号大的扭蛋，所以如果先扭编号小的扭蛋再扭编号大的扭蛋，就会在扭编号大的扭蛋时浪费更多的期望次数，所以我们要选能扭到所有扭蛋且 aaa 值最小的扭蛋机。

由于扭哪个扭蛋机是由 maxidmaxidmaxid 决定的，所以我们枚举每个扭蛋 xxx，计算出它作为 maxidmaxidmaxid 出现出现的概率以及它作为 maxidmaxidmaxid 出现时，使得 maxidmaxidmaxid 改变（即扭到它）的期望扭蛋次数。

期望扭蛋次数即为 bxb_{x}bx，现在关键问题是求出 xxx 作为 maxidmaxidmaxid 出现的概率，即操作完 x+1∼mx+1\sim mx+1∼m 时还没有扭到 xxx 的概率。

对于任意一个时刻，当前还未扭到的蛋的集合为 SSS，那么对于所有 i∈Si\in Si∈S，下一个扭到的未出现过的蛋为 iii 的概率都是相同的。也就是说如果我们只看每一个蛋第一次被扭出的时间的顺序，那么每一种顺序（1∼m1\sim m1∼m 的每一种排列）的出现概率都是相同的。

那么操作完 x+1∼mx+1\sim mx+1∼m 时还没有扭到 xxx 的概率，就相当于在这个 1∼m1\sim m1∼m 的排列中 xxx 出现位置比 x+1∼mx+1\sim mx+1∼m 都要靠后的概率，即为 1m−x+1\frac{1}{m-x+1}m−x+11。

【ARC114E】Paper Cutting 2

题意：你有一张大小为 H×WH\times WH×W 的长方形纸，被划分为 H×WH\times WH×W 个格子，其中有恰好两个格子是黑色的，其余都是白色的。你需要进行如下操作：

假设你当前还剩下一张大小为 h×wh\times wh×w 的纸，那么这张纸被 h−1h-1h−1 条横线和 w−1w-1w−1 条竖线划分为 h×wh\times wh×w 个格子，你将在这 h+w−2h+w-2h+w−2 条线中随机选择一条，并沿着这一条线将整张纸剪开剪成两张纸，然后：
- 如果两个黑色格子仍然在同一张纸上，则扔掉另一张纸，重复执行上述操作。
- 否则结束操作。

求期望进行的操作次数，对 998244353998244353998244353 取模。

H,W≤105H,W\leq 10^5H,W≤105。

题解：

先讲一维的情况。假设纸条长度为 nnn（有 nnn 个格子），两个黑格子分别是 x,yx,yx,y（x<yx<yx<y）。

第一想法是 O(n3)O(n^3)O(n3) 的 DP（记录两个黑格子两边剩余的格子数），但貌似不太能做，因为状态数已经是 O(n2)O(n^2)O(n2) 的了。

难点在于这个概率可能比较难处理，毕竟纸条剩余长度不同概率就不同。

一个非常高妙的转化是：题目等价于，我们随机一个 1∼n−11\sim n-11∼n−1 的排列，并按随机出的排列顺序切纸条，切的过程中只有合法才计数（不合法的情况有：当前切线所在纸条已经和黑格子分离了、两个黑格子之前就已经被切开了等），求切的次数的期望。

证明是不难的，假设已经切到了某种状态（确定了排列的前若干位），对于下一步可能的每种合法的切法，它们成为下一步（在后面的排列中作为第一个合法的切法出现）的概率是相等的。

现在我们只需要统计切的次数的期望即可。

这是简单的，枚举切第 iii 条线的贡献，合法的条件是：iii 到黑格子之间、黑格子与黑格子之间没有线被切过。假设需要某 kkk 条线不被切过，那么第 iii 条线的贡献就是 1k+1\frac{1}{k+1}k+11。

这个转化大概思路就是：考虑把不合法的操作也加入操作序列内填充成一个排列，使得每种操作序列出现的概率不变（基数增大但概率不变），而对排列来说概率是好求的。

二维的情况也是类似的，事实上貌似可以扩展到 nnn 维？

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;namespace modular
{const int mod=998244353;inline int add(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}inline int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}inline int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
}using namespace modular;inline int poww(int a,int b)
{int ans=1;while(b){if(b&1) ans=mul(ans,a);a=mul(a,a);b>>=1;}return ans;
}inline int read()
{int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^'0');ch=getchar();}return x*f;
}int H,W,h1,w1,h2,w2;int main()
{H=read(),W=read(),h1=read(),w1=read(),h2=read(),w2=read();if(h1>h2) swap(h1,h2);if(w1>w2) swap(w1,w2);int ans=0;for(int i=1;i<H;i++){int k;if(i<h1) k=h1-1-i+h2-h1;else if(i<h2) k=h2-h1-1;else k=i-h2+h2-h1;k+=w2-w1;ans=add(ans,poww(k+1,mod-2));}for(int i=1;i<W;i++){int k;if(i<w1) k=w1-1-i+w2-w1;else if(i<w2) k=w2-w1-1;else k=i-w2+w2-w1;k+=h2-h1;ans=add(ans,poww(k+1,mod-2));}printf("%d\n",ans);return 0;
}