用Mathematica和SciPy阐明Jacobi椭圆函数的定义方法

这，这个，那，那个Jacobi椭圆函数SN和CN类似于三角函数正弦和余弦。它们出现在非线性振动和保形映射等应用中。不幸的是，定义这些函数有多种约定。这篇文章的目的是澄清围绕这些不同公约的混淆。

上面的图像是函数sn[1]的一个图。

模量、参数和模数角

Jacobi函数有两个输入。我们通常认为Jacobi函数是第一个输入的函数，第二个输入是固定的。这第二个输入是一个“拨号”，你可以转动它来改变他们的行为。

有几种方法可以指定此拨号。我以“拨号”一词开始，而不是“参数”，因为在这个上下文中参数具有技术意义，一种描述刻度盘的方法。除了“参数”，您还可以将Jacobi函数描述为模数或模角。这篇文章将是一种罗塞塔石头，展示了描述雅可比椭圆函数的每一种方式是如何相关的。

这，这个，那，那个参数m是[0，1]中的实数。这，这个，那，那个互补参数是m' = 1 - m. 艾布拉莫维茨和斯特贡例如，将Jacobi函数sn和cn编写为sn(u | m)和CN(u | m)他们也用m1=而不是m‘表示互补参数。

这，这个，那，那个模数k的平方根m。如果m代表模数，但这不是传统。相反，m表示参数和k是模数。这，这个，那，那个互补模量k‘是互补参数的平方根。

这，这个，那，那个模角α是由m=SIN 2α。

注意，作为参数m等于零，模数也是零。k以及模块角α。当这三个函数中的任意一个变为零时，Jacobi函数sn和cn收敛到它们对应的正弦和余弦。因此，无论您的刻度盘是参数、模数还是模角，当您将刻度盘转向零时，sn收敛到正弦，cn收敛到余弦。

作为参数m等于1，模数也是1。k，但模块化角度α进入π/2。所以如果你的刻度盘是参数或者模数，它会变成1。但是，如果您认为您的拨号是模块化的角度，它将进入π/2。在这两种情况下，当你将刻度盘向右转时，sn收敛到双曲割线，cn收敛到常量函数1。

季度期

除了参数、模数和模角外，还可以看到Jacobi函数K和K“”这些被称为季度期是有充分理由的。函数sn和cn有周期4。K当你沿着真实的轴移动，或者在复杂平面的任何地方水平移动。他们也有第四期IK“”也就是说，当移动距离为4时，函数会重复。K‘垂直[2]。

四分之一周期是模数的函数。季度期K沿着真实的轴线

功能K( m)称为“第一类完全椭圆积分”。

振幅

到目前为止，我们主要关注Jacobi函数的第二个输入，以及指定它的三个约定。

有两种指定第一个参数的约定，要么写成φ，要么写成u。这些都是与.有关的.

角φ称为振幅。(是的，这是一个夹角，但它被称为振幅.)

当我们上面说Jacobi函数有4周期的时候K，这是从变量的角度来看的。u。请注意，当φ=π/2，u = K.

数学中的Jacobi椭圆函数

Mathematica使用u第一个参数的约定和第二个参数的参数约定。

数学函数JacobiSN[u, m]用参数计算函数snu参数m。在A&S的表示法中，sn(u | m).

同样，JacobiCN[u, m]用参数计算函数cnu参数m。在A&S的表示法中，cn(u | m).

到目前为止，我们还没有讨论过Jacobi函数DN，但它是在Mathematica中实现的JacobiDN[u, m].

将振幅φ作为u是JacobiAmplitude[um m].

计算季度期间的函数。K从参数m是EllipticK[m].

Python中的Jacobi椭圆函数

SciPy库有一个Python函数，它同时计算四个数学函数。功能scipy.special.ellipj有两个论点，u和m，就像Mathematica一样，并返回sn(u | m)，CN(u | m)、DN(u | m)，以及振幅φ(u, m).

功能K( m)在Python中实现为scipy.special.ellipk.