matlab牛顿解方程,牛顿迭代法解非线性方程matlab实现
1
．功能
本程序采用牛顿法，求实系数高次代数方程
f(x)=a0xn+a1xn-1+
…+an-1x+an=
０ (an
≠０
)
(
1
)
的在初始值
x
0
附近的一个根。
2.
使用说明
(1)函数语句
Y=NEWTON_1(A,N,X0,NN,EPS1)
调用
M
文件
newton_1.m
。
(
2
)参数说明
A n+1
元素的一维实数组，输入参数，按升幂存放方程系数。
N
整变量，输入参数，方程阶数。
X0
实变量，输入参数，初始迭代值。
NN
整变量，输入参数，允许的最大迭代次数。
EPS1
实变量，输入参数，控制根的精度。
3
．方法简介
解非线性议程
f(x)=0
的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把
f(x)
在
x0
点
附近展开成泰勒级数
f(x)=f(x0)+(x－x0)fˊ(x0)+(x－x0)2 +…
取其线性部分，作为非线性方程
f(x)=0
的近似方程，则有
f(x0)+fˊ(x0)(x－x0)=0
设
f
ˊ
(x0)
≠0则其解为
x1=x0－f(x0)/fˊ(x0)
再把f(x)在x1附近展开成泰勒级数，也取其线性部分作f(x)=0的近似方程。若f(x1)≠0，则得
x2=x1－f(x1)/fˊ(x1)
这样，得到牛顿法的一个迭代序列
xn+1=xn－f(xn)/fˊ(xn)
4
．newton_1.m程序
function y=ne
wton_1(a,n,x0,nn,eps1)
x(1)=x0；
b=1；
i=1；
while(abs(b)>eps1*x(i))
i=i+1；
x(i)=x(i-1)-n_f(a,n,x(i-1))/n_df(a,n,x(i-1))；
b=x(i)-x(i-1)；
if(i>nn)error(ˊnn is fullˊ)；
return；
end
end
y=x(i)；
i
程序中调用的n_f.m和n_df.m文件如下：
function y=n_df(a,n,x)%方程一阶导数的函数
y=0.0;
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+1-i)*x^(n-i);
end
function y=n_df(a,n,x)
y=0.0；
for i=1:n
y=y+a(i)*(n+１-i)*x?(n-i)；
end
5
．程序附注
(1)程序中调用n_f.m和n_df.m文件。n_f.m是待求根的实数代数方程的函数,n_df.m是方程一阶导数的函数。由使用者自己编写。
(2)牛顿迭代法的收敛速度：如果
f(x)
在零点附近存在连续的二阶微商，ξ是
f(x)
的一个重零点，且初始值x0充分接近于ξ，那么牛顿迭代是收敛的，其收敛速度是二阶的，即平方收敛速度。
6
．例题
用牛顿法求下面方程的根
f(x)=x3+2×2+10x-20
7
．运行结果
>>a=[1,2,10,-20] ；
>>n=3；
>>x0=1；
>>nn=1000；
>>eps1=1e-8；
>>y=newton_1(a,n,x0,nn,eps1)
y=
1.368808107821373e+000
i=
6
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