矩阵的初等变换的应用

@(线性代数)

这篇文章中介绍了矩阵的初等变换的用法。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/52803938?locationNum=1&fps=1

没有强调的是，左乘是行变换，右乘是列变换。

三种形式六种情况：

Ei(k)E_i(k)：单位矩阵的第i行或者第i列乘以k倍得到的矩阵。
EijE_{ij}：单位矩阵第i行和第j行交换或者第i列和第j列交换得到的矩阵。
Eij(k)E_{ij}(k)：单位矩阵的第j行乘以k倍加到第i行，即被操作的行在前；那么也可以理解为第i列乘以k倍加到第j列。

其中前两种形式无论是行还是列都不会有形式上的困惑，而第三个形式则有些区别。

在行变换中，被加和的行下标在前，列中被加和的列下标在后。

要仔细体会这种差别。

分析一个简单题，并强调一种思路。

(2012.6)设A是3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且:

P−1AP=⎡⎣⎢⎢100010002⎤⎦⎥⎥

P^{-1}AP = \left[\begin{array}{ccc}1& 0 &0 \\0& 1 &0 \\0& 0 &2\end{array} \right]

若P=(α1,α2,α3),Q=(α1+α2,α2,α3)P = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3),Q = (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3)

求Q−1AQQ^{-1}AQ

分析：这种首先要找到正确的方向，否则求解很难。这里想强调的是一种定式。无论是求抽象的行列式还是矩阵，类似P,Q这种表达的，首先奔着抽出一个矩阵的方向去。这样就有一个具体的矩阵，问题简单很多。

即,

Q=(α1+α2,α2,α3)=(α1,α2,α3)⎡⎣⎢⎢110010001⎤⎦⎥⎥=PE21(1)

Q = (\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2,\alpha_3) \\= (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right] = PE_{21}(1)

因此，Q−1=E−121(1)P−1=E21(−1)P−1Q^{-1} = E_{21}^{-1}(1)P^{-1} = E_{21}(-1)P^{-1}

从而得到,

Q−1AQ=E21(−1)P−1APE21=⎡⎣⎢⎢100010002⎤⎦⎥⎥

Q^{-1} A Q = E_{21}(-1)P^{-1}APE_{21} \\= \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 2 \\\end{array}\right]

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