2019牛客暑期多校训练营（第九场）Quadratic equation（二次剩余

题目来源：

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/889/B

题意：

给定 p = 1 e 9 + 7 ，构造 x , y 使其满足 ( x + y ) m o d p = b ， ( x ∗ y ) m o d p = c p=1e9+7，构造x,y使其满足(x+y) mod p = b，(x*y) mod p = c p=1e9+7，构造x,y使其满足(x+y)modp=b，(x∗y)modp=c .

思路：

不考虑取模的情况下， ( x − y ) 2 = ( x + y ) 2 − 4 x y = b 2 − 4 c 。不考虑取模的情况下，(x-y)^2=(x+y)^2-4xy=b^2-4c 。不考虑取模的情况下，(x−y)2=(x+y)2−4xy=b2−4c。
在取模的意义下， ( x − y ) 2 ≡ b 2 − 4 c ( m o d p ) 在取模的意义下，(x-y)^2\equiv b^2-4c (mod p) 在取模的意义下，(x−y)2≡b2−4c(modp)
因为 a 是模 p 的二次剩余的充分必要条件为 a ( p − 1 ) / 2 ≡ 1 ( m o d p ) 因为a是模p的二次剩余的充分必要条件为 a^{(p-1)/2}\equiv 1(mod p) 因为a是模p的二次剩余的充分必要条件为a(p−1)/2≡1(modp)
所以可以根据二次剩余求出 x − y 所以可以根据二次剩余求出x-y 所以可以根据二次剩余求出x−y。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;#define ll long long
const int mod=1e9+7,inv2=(mod+1)/2;int Pow(int x,int n) {int k = 1;while (n) {if (n & 1) k = (ll) k * x % mod;x = (ll) x * x % mod;n >>= 1;}return k;
}
int main() {int t;scanf("%d", &t);while (t--) {int a, b;scanf("%d%d", &a, &b);int k = (((ll) a * a - 4ll * b) % mod + mod) % mod;int v = Pow(k, (mod + 1) / 4); //根据二次剩余求出x-yif ((ll) v * v % mod != k) { //无解puts("-1 -1");continue;}int x = (ll) (v + a) * inv2 % mod;int y = (a - x + mod) % mod;if (x > y) printf("%d %d\n", y, x);else printf("%d %d\n", x, y);}return 0;
}

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